Prueba de función constante sin Picard ' s pequeño Teorema

Question

Necesito demostrar sin usar pequeño Teorema de Picard lo siguiente:

Que $f(z)$ un entero función tal que $f(z) \notin \mathbb R$ cada $z \in \mathbb C$. Demostrar que $f$ es constante.

¿Tienes una manera de hacerlo?

Gracias

Answer 1

Sugerencia: La hipótesis implica que $Im f(z) \neq 0$ % todo $z \in \mathbb{C}$, que $$\mathbb{C}=\{Im f(z)>0\} \cup \{Im f(z) < 0\}.$ $

Usar el hecho de que $\mathbb{C}$ está conectado para deducir que cualquier $Im f(z)<0$ % todo $z$$Im f(z)>0$o % todos $z$. Luego, aplicar el teorema de Liouville o $g(z):=e^{if(z)}$ o $g(z):=e^{-if(z)}$.