¿Cómo escribir un campo fijo como una simple extensión de $\mathbb{R}$? (Morandi ' libro de s)

Question

Estoy trabajando en el siguiente problema de Morandi del Libro de Campo y la Teoría de Galois:

Vamos $A$ =$\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ con $a=d=-1/2$ $c=-b=\sqrt{3}/2$ ser la matriz de la cual gira la plano alrededor del origen por $120º$. Considerar $\varphi_A:\mathbb{R}(x)\a \mathbb{R}(x)$ given by $\varphi_A(x)=(ax+b)/(cx+d)$ (esta función se encuentra en $Gal(\mathbb{R}(x)/\mathbb{R})$).

Tenemos que $S=\{Id, \varphi_A,\varphi_{A^2}\}\leq Gal(\mathbb{R}(x)/\mathbb{R})$ (como se puede comprobar), considere la posibilidad de, a continuación, $F=\mathcal{F}(S)$ el campo fijo de $S$. Demostrar que $\mathbb{R}(x)/F$ es de Galois y encontrar una $u$, de modo que $F=\mathbb{R}(u)$, entonces, encontrar el polinomio $min(F,x)$ y encontrar todas las raíces de este polinomio.

(He omitido notaciones para en pos de la brevedad, espero que el mensaje es claro). Demostrando que $\mathbb{R}(x)/F$ es de Galois es fácil. Estoy atascado en la búsqueda de la $u$. Pensé $u$$\varphi_A(x)$, pero esto conduce a$F\subseteq \mathbb{R}(u)$, pero no a la inversa.

Me puedes dar una mano con este problema por favor? Estoy seguro de consejos será suficiente. Gracias.

Answer 1

Es la manera más fácil de responder a las preguntas en sentido inverso.

Ya sabemos que el grupo de Galois de $\Bbb R(x)$$\mathcal F(S)$, los conjugados de $x$ ser $\phi_A(x)$$\phi_{A^2}(x)$.

Entonces, el polinomio mínimo de a $x$ $(T - x)(T - \phi_A(x))(T - \phi_{A^2}(x))$

Usted puede calcular todo y comprobar que los coeficientes son fijados por $S$ si quieres, pero es ya evidente.

Finalmente, encontrar una $u$, vamos a elegir un elemento aleatorio de $\mathcal F(S)$.

Por ejemplo uno de los coeficientes del polinomio es $u = Id(x) + \phi_A(x) + \phi_{A^2}(x) = 3x \frac {3-x^2}{1-3x^2}$.

A continuación, $x$ es una raíz de $(1-3T^2)u - 3T(3-T^2)$ que es un polinomio de grado $3$, lo $\Bbb R(u) \subset \Bbb R(x)$ tiene un grado en la mayoría de las $3$, y por lo $\Bbb R(u)$ debe $\mathcal F(S)$ (que podría haber sido una estricta subcampo si tuvimos mala suerte)

Después de dividir por $3$ este debe ser el mismo polinomio mínimo como antes, pero esta vez los coeficientes son explícitas las funciones racionales de $u$.