Mostrar que un campo vectorial es tangente a la 2-esfera

Question

¿Cómo podría demostrar que el campo vectorial $X = x\frac{\partial}{\partial y} - y\frac{\partial}{\partial x}$ es tangente a la esfera unitaria en $\mathbb{R}^3$ ? Puedo verlo gráficamente, pero no estoy seguro de lo que se necesitaría para probarlo realmente.

(¡Esto no es una tarea! Entiendo las definiciones de campo vectorial como una derivación de $C^\infty(M)$ o como una sección del haz tangente $TM$ pero no sé cómo calcular nada al respecto, así que estoy tratando de trabajar con algunos ejemplos).

Answer 1

He aquí cómo hacer el argumento de los comentarios un poco más riguroso a partir de las propiedades básicas de los haces tangentes. Sea $i: S^2 \to \mathbb R^3$ sea la inclusión. Para cada $x \in S^2$ esto induce una inyección $i_* T_xS^2 \to T_x \mathbb R^3$ . Entonces, preguntando si un campo vectorial $X$ en $\mathbb R^3$ es tangente a $S^2$ es lo mismo que preguntar si para todos $x \in S^2, X_x \in i_* T_x S^2$ . Consideremos ahora el mapa $f: \mathbb R^3 \to \mathbb R, (x,y,z) \mapsto x^2 + y^2 + z^2$ . Ahora $f \circ i : S^2 \to \mathbb R$ es constante para que $f_* \circ i_* = 0$ . En otras palabras, $i_* TS^2 \subset \ker f_*$ . Desde $f_* \ne 0$ en $S^2$ por razones de dimensionalidad debemos tener que $i_* TS^2 = \ker f_*$ . Por último, un campo vectorial está en $\ker f_*$ equivale a $Xf = 0$ desde $Xf = df(X) = f_* X$ .

Answer 2

La esfera de la unidad en $\Bbb R^3$ es agradable en el sentido de que sus espacios tangentes admiten una interpretación sencilla: Si $r \in S^2$ entonces $$T_r S^2 = \{v \in \Bbb R^3 : r \cdot v = 0 \}.$$ Ahora podemos hacer la identificación $$x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x} \leftrightarrow (-y, x, 0) \in \Bbb R^3.$$ Ahora, para cualquier $r = (x,y,z) \in S^2$ tenemos $$(x, y,z) \cdot (-y, x,0) = -xy + xy + 0= 0 \implies (-y, x, 0) \in T_r S^2.$$ Esto es válido para todos los puntos $r \in S^2$ Así que $x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x}$ es un campo vectorial en $S^2$ .

Answer 3

Dado que estamos considerando explícitamente una incrustación, puedes utilizar el concepto de colector vectorial para atacar este problema. Esto tiene muchas ventajas: en particular, puedes utilizar el álgebra geométrica (clifford) para analizar el problema.

Lo que ha hecho Henry es inteligente: está utilizando la normal a la superficie para caracterizarla, lo cual es algo que siempre se puede hacer en $\mathbb R^3$ pero no es algo que se pueda hacer en general. Por ejemplo, si su colector $M$ tiene $\dim M = 2$ en $\mathbb R^4$ no se puede construir un vector normal a él.

El álgebra geométrica permite caracterizar una variedad orientable por su pseudoescalera . Esto es lo que haré aquí.

La esfera unitaria puede caracterizarse por dos ángulos $\theta, \phi$ . Asignamos a cada punto un vector en $\mathbb R^3$ , lo cual es obvio por la incrustación. Dejemos que estos vectores sean $r$ (para que $r^2$ el segundo componente de este vector, es $y$ como siempre). Podemos entonces tomar, en cualquier $r$ , derivadas parciales con respecto a nuestras coordenadas angulares para caracterizar los vectores tangentes.

$$\begin{align*}e_\theta &= \frac{\partial x}{\partial \theta} = \cos \theta \cos \phi e_1+ \cos \theta \sin \phi e_2 - \sin \theta e_3 \\ e_\phi &= \frac{\partial x}{\partial \phi} = \sin \theta (-\sin \phi e_1 + \cos \phi e_2)\end{align*}$$

Para este problema, es útil reescribir las variables en términos de $x, y, z$ .

$$\begin{align*}e_\theta &= \frac{zx}{\sqrt{x^2 + y^2}} e_x+ \frac{zy}{\sqrt{x^2+y^2}}e_y - \sqrt{x^2+y^2} e_z \\ e_\phi &= - y e_x + x e_y\end{align*}$$

Ahora podemos caracterizar la superficie por su pseudoescalar $i$ que está formado por un producto de cuña de los vectores tangentes.

$$i = e_\theta \wedge e_\phi = \sqrt{x^2 + y^2} (z e_{xy} + y e_{zx} + x e_{xy})$$

El pseudoescalar representa, para una superficie, un elemento de área. Es una función de posición, como puedes ver. Como tiene orientación, el pseudoescalar por sí mismo puede informarte sobre la orientación de una variedad (de hecho, si obtuvieras que el pseudoescalar es multivalente, concluirías con razón que la variedad no es orientable). El pseudoescalar se utiliza para realizar proyecciones bajo el producto geométrico. Si un campo vectorial se encuentra enteramente en el espacio tangente, entonces su producto cuña con el pseudoescalar debería ser cero. Podemos ver que este es el caso.

$$i \wedge X \propto (z e_{xy} + y e_{zx} + x e_{yz}) \wedge (x e_y - y e_x) = yx e_{zxy} - xy e_{yzx} = (yx -xy) e_{xyz} = 0$$

Este enfoque es un poco más complicado para $\mathbb R^3$ que el enfoque estándar, y los aspectos del álgebra de Clifford pueden requerir algún tiempo para acostumbrarse, pero es un formalismo poderoso cuando se tiene acceso a una incrustación, y podríamos haberlo utilizado fácilmente para una superficie bidimensional en $\mathbb R^4$ con casi ningún cambio de enfoque.