Dejemos que $f(x,y,z) = x^a + y^b - z^c$ , donde $a,b,c \gt 0$ . ¿Cuál es el resultado más básico y a la vez interesante de este polinomio de la Geometría Algebraica?
Respuestas
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Tal vez le interese el documento Faltings más épsilon, Wiles más épsilon y la ecuación de Fermat generalizada de H. Darmon, que contiene una serie de resultados y conjeturas interesantes sobre las soluciones enteras de la ecuación $f(x,y,z) =0$ . Por ejemplo, Darmon y Granville conjeturan que hay un número finito de triples (primitivos) de números enteros $(x,y,z)$ con $x^a+y^b = z^c$ y tal que $$1/a+1/b+1/c<1.$$ Además, Darmon ofrece una gran cantidad de
$$300\left(\frac{1}{\frac1a+\frac 1b+\frac1c}-1\right)\:\text{dollars}$$
para cualquier solución que no esté en la lista contenida en el documento.
(Sin embargo, por favor, no busque demasiado, porque el profesor Darmon es mi asesor de doctorado y no querría causar su ruina. Por supuesto, estoy bromeando: buena suerte para encontrar nuevas soluciones...)
Mike Miller
Puntos
17852
En una línea similar a la respuesta de Bruno, le invito a echar un vistazo a este documento de Poonen, Schaefer y Stoll, en la que encontrar todas las soluciones a $x^2+y^3=z^7$ que figuran en "Faltings más épsilon" utilizando la geometría algebraica. También dan una buena sección que resume por qué este caso es especialmente difícil y los resultados anteriores sobre la ecuación de Fermat generalizada.
