No vamos a aprender derivaciones en la escuela para los próximos 3 o 4 años, pero tengo interés en matemáticas y comenzó a aprender sobre derivaciones de Khan Academy. Yo no entiendo lo que sería un derivado de la $f(x) = x^2$, pero lo si $f(x, y) = (x + y)(x + y)$ ? Supongo que tendría tres dimensiones de la gráfica para que, y por lo tanto no estaría buscando una línea tangente, pero más como una tangente de la superficie de algún tipo? ¿Cómo puedo expresar la "pendiente" de una superficie? Supongo que necesito al menos dos números... hice algunos cálculos, estoy bastante seguro de que está equivocado, pero tengo que $f'(x, y) = 2x + 2y$, si, dado que la $f(x, y) = (x + y)(x + y)$... Esto en realidad no tiene ningún sentido para mí, a todos, así que ¿cómo hacerlo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Los habituales de lo que uno hace (pero esto puede variar de acuerdo a lo que estamos tratando de lograr) es calcular el vector gradiente de la función, anotada $\nabla f$. El gradiente tiene un componente para cada entrada de a $f$; para cada componente de tratar a todas las demás variables temporalmente como constantes y se diferencian con respecto a la elegida: $$(\nabla f)(x,y) = \left(\frac{d}{dx}f(x,y), \frac{d}{dy}f(x,y)\right) = ( 2(x+y) 2(x+y) ) $$ En este ejemplo puede ser un poco difícil ver lo que está pasando, porque ambos componentes a ser lo mismo, así que vamos a probar con la otra: $g(x,y)=x^2y+y$ da $$\nabla g(x,y) = (2xy, x^2+1)$$
La intuitiva propiedad de la pendiente es que si tenemos algún pequeño offset$(h,k)$$(x,y)$, entonces la diferencia de $f(x+h,y+k)-f(x,y)$ se aproximó por el producto escalar entre el$(h,k)$$\nabla f(x,y)$.
Los componentes del gradiente se llaman derivadas parciales y a menudo se escriben con un signo especial como $\frac{\partial f}{\partial x}$$\frac{\partial f}{\partial y}$. El $\partial$ signo se parece un poco al $d$, pero es diferente, como un recordatorio de que una sola derivada parcial no es suficiente para estimar el $\Delta f$; usted necesita de ellos.
Una forma geométrica de pensar acerca de la $n$-ésima derivada de una variable es que es la mejor posible, $n$- ésimo grado de aproximación a la función, después de que el menor de los derivados han sido sustraída de distancia.
Por ejemplo, el "0-ésima derivada" de $f(x)$ $x_0$ es sólo el punto de $f(x_0)$.
Restar $f(x_0)$ $f$ y se obtiene una función de $f(x) - f(x_0)$ que cruza el $x$-eje en $x_0$. Si te acercas lo suficiente en el punto de $x_0$, se ve como una línea de $y = a(x-x_0)$. Esta línea está totalmente determinado por su pendiente, lo que llamamos la primera derivada.
Restar de esta línea, y ahora su función de $f(x) - f(x_0) - a(x-x_0)$ besos de la $x$-eje en $x_0$ sin cruzar. Zoom lo suficiente y se ve como una cuadrática, $\frac{1}{2}b(x-x_0)^2$. De nuevo, el único número $b$ es suficiente para determinar la forma de esta ecuación cuadrática, y llamamos a este número de la segunda derivada.
Ahora echemos un vistazo a una de dos dimensiones de la función $f(x,y)$. De nuevo, el grado 0 de aproximación a $(x_0,y_0)$ es sólo $f(x_0,y_0)$. Restando obtenemos $f(x,y) - f(x_0,y_0)$, y si nos acercamos en esta función se parece a un plano que pasa a través de la $x-y$ plano en $(x_0,y_0)$. Este plano tiene la ecuación de $z = a(x-x_0) + b(y-y_0)$ para algunos coeficientes de $a$ $b$ -- aviso que ahora tenemos dos números para especificar completamente este plano. Este par de números es la primera derivada de la $f$.
Restando esta vez, vamos a obtener una función que es tangente a la $x-y$ plano en $(x_0,y_0)$; el zoom, la superficie se parece a un grado 2 de superficie cuadrática $z = \frac{1}{2} b(x-x_0)^2 + c(x-x_0)(y-y_0) + \frac{1}{2}(y-y_0)^2.$ Los tres números de $b,c,d$ que determinan esta ecuación cuadrática son la segunda derivada, a menudo escrito como una matriz de $\left[\begin{array}{cc} b & c\\ c & d\end{array}\right]$. Esta superficie se parece a un tazón, una extrusión de parábola, o una silla de montar.
Podemos continuar este proceso, la aproximación de lo que está a la izquierda de la función cúbica, cuarto grado, etc. de la superficie. Pero estos requieren de más y más números para determinar, y son más difíciles de visualizar geométricamente.
