La evaluación de límite natural $\lim_{n \to \infty} \left( e^{2n} - 1\right) ^\frac{1}{n}$

Question

Cualquier idea la evaluación de este $$ \lim_{n \to \infty} \left( e^{2n} - 1\right) ^\frac{1}{n} $$

después de que me levante todos los a e, como así $$ \exp\left( \frac{\ln\left(e^{2n}-1\right)}{n}\right) $$ y el Hospital de ti me quedo atascado.

Gracias

Answer 1

Mucho más fácil de usar que $e^{2n}/2<e^{2n}-1<e^{2n}$$n>1$, y aplicar el teorema del sándwich.

Answer 2

Ha $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(e^{2n}-1)^{1/n}=\lim_{n\to\infty}\left(e^{2n}\bigg(1-\frac{1}{e^{2n}}\bigg)\right)^{1/n}=\lim_{n\to\infty}e^{2}\left(1-\frac{1}{e^{2n}}\right)^{1/n}=e^2(1^0)=e^2$

Answer 3

$$\dfrac{\ln(e^{2n}-1)}n=\dfrac{\ln(e^{2n})+\ln[1-e^{-2n}]}n=\dfrac{2n+\ln[1-e^{-2n}]}n$$

Ahora $\lim_{n\to\infty}e^{-2n}=\left[\lim_{n\to\infty}e^{-n}\right]^2=0^2$ $e>1$

Answer 4

Puede utilizar la Regla de L'Hospital de directamente como estaba previsto. Para ese fin

$$\begin{align} \lim_{n\to \infty}\frac{\log(e^{2n}-1)}{n}&=\lim_{n\to \infty}\frac{2e^{2n}}{e^{2n}-1}\\\\ &=\lim_{n\to \infty}\frac{2}{1-e^{-2n}}\\\\ &=2 \end{align}$$

Y utilizamos la continuidad de la función exponencial para mostrar que

$$\lim_{n\to \infty} (e^{2n}-1)^{1/n}=e^{\lim_{n\to \infty} \log(e^{2n}-1)^{1/n}}=e^2$$