Encuentre el más pequeño $n$ tal que $\mathbb Z_2\times \mathbb Z_2\times \mathbb Z_2$ es isomorfo a un subgrupo de $S_n$

Question

Consideremos el grupo $A=\mathbb Z_2\times \mathbb Z_2\times \mathbb Z_2$ . Encuentre el menor número entero positivo $n$ tal que $A$ es isomorfo a un subgrupo de $S_n$ .

Mi opinión. Desde $o(A)=8$ entonces $n\geq 4$ .
Si $n=4$ entonces $8$ dividirá $24$ pero cómo asegurarse de que tiene un subgrupo abeliano de orden $8$ o no ya que $A$ es abeliana.

Cualquier ayuda.

Answer 1

El más pequeño $n$ es $6$ :
1. $A$ es isomorfo a $\langle(1,2),(3,4),(5,6)\rangle$ .
2. Para $n=4,5$ el único subgrupo de orden $8$ que $S_n$ sí contiene es el grupo diédrico $D_4$ (y sus conjugados, siendo un $2$ -subgrupo Sylow).

Answer 2

Nota :

• $n\geq 4$ como has observado correctamente.

• Si $H \cong \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}$ entonces todos los elementos de $H$ tiene que tener orden $2$ . Así que todos los elementos de $H$ son $2$ ciclos o producto de $2$ Ciclos. Ahora bien, tenga en cuenta que si $H$ contiene un $2$ -ciclo, entonces tiene que ser disjunta. (¿Por qué?) Piensa en un ejemplo. ¿Qué pasa si $H$ contiene $(1\ 2)$ y $(2\ 3)$ ?

• Así que deducimos que nuestro subgrupo $H$ sólo contiene elementos disjuntos $2$ y el producto de los ciclos disjuntos $2$ ciclos.

• Ahora descartamos el caso $n=4$ . Supongamos que $H$ contiene los dos ciclos $(1 \ 2)$ Entonces $H = \{e, (1 \ 2), (3,\ 4), (1\ 2)( 3\ 4)\}$ . Pruebe otras posibilidades y vea que $|H|=4$ siempre es así $H \not\cong \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}$ .

• Por el mismo razonamiento se puede descartar $n=5$ también.

• Para $n=6$ podemos construir $H$ de la siguiente manera. $H=\{ e, (1\ 2), (3\ 4), (5,\ 6), (1\ 2)(3\ 4), (1\ 2)(5\ 6), (3\ 4)(5\ 6), (1\ 2)(3\ 4)(5\ 6)\}$

• Ahora para probar $H$ es isomorfo a $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}$ Obsérvese que cualquier grupo abeliano de orden $8$ tiene que ser isomorfo a $\mathbb{Z}_{8}$ o $\mathbb{Z}_{4} \times \mathbb{Z}_{2}$ o $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}$ . Los dos primeros no pueden ocurrir ya que no hay ningún elemento de orden $8$ y $4$ en $H$ .