Programa de instalación: Considere la posibilidad de un Laplaciano (o Kirchoff) de la matriz $L = L^T \in \mathbb{R}^{n \times n}$ correspondiente al peso, grafo y gráfica conectada. Es decir, una matriz con $L_{ij} \leq 0$$i\neq j$$L_{ii} = -\sum_{j=1}^n L_{ij} > 0$. Por lo $L$ cero, con una fila suma, y es positivo semidefinite con un autovalor simple en $0$.
Es bien sabido que si se agrega una pequeña positivo (resp. negativo) cantidad a cualquier elemento de la diagonal $L$, el autovalor cero es empujado hacia la derecha (resp. a la izquierda) a la mitad del plano.
Pregunta: Considere la posibilidad de una diagonal , pero indefinida matriz $B = \mathrm{diag}(b_{11},\ldots,b_{nn})$. ¿Cuáles son las condiciones suficientes en $B$ tal que $L + B$ es positiva definida?
Lo que yo sé: Obviamente si $B$ fue positivo semi-definitiva, el resultado podría seguir. Me he encontrado casos en los que un pequeño negativo $b_{ii}$ no puede ser compensada por una lo suficientemente grande $b_{jj}$, por lo que una condición de la forma $Trace(B) >\!\!> 0$ no trabaja.
Una Conjetura: Cualquier elemento negativo añadido en el nodo $i$ debe ser corregido con una adición positiva a un (o varios) de los nodos que son "suficientemente conectados" en el gráfico de al nodo i.
Pensamientos apreciado! -Juan
