La cromodinámica cuántica es una parte muy importante del modelo estándar de la física de partículas.

Question

Mi entendimiento es que cada teorema $\phi$ $PA$ que es verdad en $N$ porque

1. $N$ es un modelo para $PA$, $N\models PA$.
2. Por la integridad de primer orden de la lógica, "$PA\vdash\phi$" implica que "si $N\models PA$$N\models \phi$".

Por lo tanto $\phi$ que es verdad en $N$, $N\models \phi$.

Pero yo estaba confundido al leer el siguiente, desde el Teorema de Gödel: Una Guía Incompleta para Su Uso y Abuso, p31:

Sabemos que no son consistentes teorías extender PA que probar falsa afirmación matemática ... Así que no tenemos base matemática para la conclusión de que (por ejemplo) el doble primer conjetura es verdadera a partir de los dos locales "PA es consistente" y "PA demuestra el doble primer conjetura".

Según mi entendimiento de arriba, "PA es consistente" y "PA demuestra el doble primer conjetura" son suficientes para concluir la verdad de la conjetura (en el modelo estándar). Las teorías de la ampliación de PA puede demostrar la falsedad de teorema (en relación con el modelo estándar), pero sin duda este no es el caso de PA?

Answer 1

Primero un menor observación: yo, personalmente, prefiero que se refieren a la implicación de que usted utilice en (2) como por la solidez y reservar el término de la integridad de la otra dirección. No tarda Gödel para probar la solidez ;)

Estás en lo correcto en la matemática antes de la cita. Creo que el punto que el autor intenta hacer en esa cita es simplemente que la verdad de los teoremas de PA no es una consecuencia de la consistencia de PA. Él no pone en duda la verdad de los teoremas de PA. Tenga en cuenta que también nunca invocar la consistencia de PA en su argumento, pero el (más fuerte, debido a la solidez) declaración de que los números naturales son un modelo. En efecto, como Franzén señala, si usted tiene una declaración de $\phi$ que es verdad en $N$, pero no es demostrable en $PA$ $PA+\neg\phi$ es una constante en la teoría que demuestre $\neg\phi$, pero esto no $\neg\phi$ cierto. La verdad no es una consecuencia de la coherencia.

Y por cierto, creo que este es un excelente libro.

Answer 2

Yo creo que puede ser útil para tener ambos párrafos:

Del mismo modo, cuando hablamos de aritmética declaraciones de ser cierto, pero indecidible en PA, no es necesario suponer que estamos introduciendo cualquier problemática nociones filosóficas. Que el gemelo primer conjetura puede ser cierto aunque indecidible en PA simplemente significa que puede darse el caso de que existen infinitos números primos $p$ tal que $p + 2$ es también una excelente, aunque esto es indecidible en PA. Para decir que no son ciertas las declaraciones de la forma "la ecuación de Diophantine $D(x_1, \ldots, x_n) = 0$ no tiene solución", que son indecidible en el PA es puramente matemático declaración, a no introducir en la filosofía problemática de ideas acerca de la verdad matemática.

Similares observaciones se aplican a las observaciones hechas anteriormente sobre coherente de sistemas y soluciones de problemas. Se hizo hincapié en que el mero hecho de que en un sistema coherente S demostrando, por ejemplo, que hay infinitamente muchos de los números primos gemelos no implica que el gemelo primer hipótesis es verdadera. Aquí de nuevo se piensa a menudo que esta observación implica dudosa metafísica de las ideas. Pero la metafísica no está involucrado, sólo ordinario de las matemáticas. Sabemos que no son consistentes teorías extender PA que demostrar la falsedad de los enunciados matemáticos-sabemos esto porque este hecho es en sí mismo un teorema matemático-y por lo tanto no tenemos base matemática para la conclusión de que el gemelo primer conjetura es verdadera, es decir,que hay infinitamente muchos de los números primos gemelos, a partir de las dos premisas "PA es consistente" y "PA demuestra el doble primer hipótesis."

De los párrafos anteriores de este apartado, parece que la matemática de la verdad' es esencialmente la verdad en $\mathbb{N}$ (o $\mathbb{R}$, o lo que sea natural universo estamos trabajando en). Creo que el punto aquí es que la PA no es completa, por lo que hay (o, al menos, no podría ser) consistente extensiones de S de PA que podría resultar que la PA es consistente y que el gemelo primer hipótesis es verdadera. Pero que estas extensiones también podría indicar, por ejemplo, que algunos otros teorema de $\mathbb{N}$ es falso. Así que las declaraciones 'PA es consistente' y 'PA demuestra el doble primer hipótesis" formalmente implica que el gemelo primer hipótesis es verdadera, pero se debe tener cuidado en cuanto a lo coherente este sistema está siendo probado en (en particular, en qué sistema está demostrando que PA demuestra el doble primer hipótesis).

Pero no hay nada de malo con su razonamiento. Si $PA \vdash \phi$, luego de curso $\mathbb{N} \vDash \phi$.

Answer 3

Ahora estoy convencido de una relectura del extracto extendido por Salman que obviamente esta mal comunicado es sólo el resultado de dos errores. Si cambias las dos últimas ocurrencias de «PA» en el extracto de la "S" todo tiene perfecto sentido (S es el nombre de una extensión consistente de PA introducido anteriormente en el extracto).

Answer 4

Yo creo que el presupuesto se destina a decir: uno puede llegar a la conclusión

el gemelo primer conjetura es verdadera

de

PA es consistente

y

PA demuestra el doble primer conjetura

sin invocar

$\mathbb N\models\mathrm{PA}$.

Escribiendo esto, me dudar de la verdad de $\mathbb N\models\mathrm{PA}$, aunque.