¿Hay alguna forma de relacionar los valores propios con el espacio de columnas y el espacio nulo de una matriz?
Creo que unas matrices con diferentes valores propios tendrían un espacio de columnas y/o un espacio nulo diferentes. ¿Es esto correcto?
Me pregunto si puede demostrar que los valores propios de $A$ y $A^T$ son iguales utilizando las propiedades de los espacios de las columnas y los espacios nulos.
Mi pensamiento es:
Si se transforma una matriz $A$ en $B$ si el espacio de la fila de $B$ es ortogonal al espacio nulo de $A$ y el espacio de columnas de $B$ es ortogonal al espacio nulo izquierdo de $A$ , entonces las matrices $A$ y $B$ tienen los mismos valores propios.
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Bueno, para empezar, sabes que si $\lambda = 0$ es un valor propio, entonces la matriz tiene un espacio nulo no trivial (y, a la inversa, si la matriz tiene un espacio nulo no trivial, entonces $0$ es un valor propio). Esto se debe a que $\lambda = 0$ es un valor propio implica que existe un vector no nulo $x$ tal que $Ax=0$ .
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La dimensión del espacio nulo corresponde a la multiplicidad del valor propio 0. En particular, A tiene todos los valores propios no nulos si y sólo si el espacio nulo de A es trivial ( $null(A)=\{0\})$ . A continuación, puede utilizar el hecho de que $dim(Null(A))+dim(Col(A))=dim(A)$ para deducir que la dimensión del espacio de columnas de A es la suma de las multiplicidades de los valores propios no nulos.
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@DanRust perdón por el retraso en el comentario, pero ahora me ha surgido la misma pregunta. Entonces, ¿qué pasa con la matriz $A = [2 -2;2 -2]$ tiene $\mathcal{N}(A)=\{c[1, 1]^T | c\in \mathbb{R} \}$ , $\mathbb{dim}\mathcal{N}(A)=1$ (una línea), pero la multiplicidad de valores propios cero es dos ( $\lambda_{1,2}=0$ ). ¿Podría comentar algo al respecto? ¿Estoy en lo cierto?
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@Thoth Multiplicidad geométrica, no multiplicidad algebraica.
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@DanRust para completar mi comprensión, "la dimensión del espacio nulo corresponde a la multiplicidad (*geométrica) ( no la multiplicidad del valor propio 0, sino la multiplicidad de los vectores propios que corresponden a los valores propios cero)". La multiplicidad geométrica es igual a $\mathbb{dim}\mathcal{N}(A)$ . Así que el $\mathbb{dim}\mathcal{N}(A)$ no ofrece suficiente información para la multiplicidad de valores propios. ¿Estoy en lo cierto? Sus comentarios y la discusión valiosa en la comprensión.