Problema de límite para $L^p$ función

Question

Tengo problemas para probar lo siguiente:

Dejemos que $f$ ser un $L^p$ función en $[0,1]$ , $f:[0,1] \to \overline{\mathbb{R}}$ . Demostrar que

$$\lim_{t \to \infty} t^p \mu(x: |f(x)| \geq t) = 0.$$

Sé que el valor del lado derecho es siempre finito para cada $t \in \mathbb{R}$ debido a la desigualdad de Chebyshev. También pude demostrar que

$\lim_{t \to \infty} \mu(x: |f(x)| \geq t) = 0$ . Pero desgraciadamente no se puede encontrar nada sobre la rapidez con la que este valor va a $0$ como $t \to \infty$ .

Estaría agradecido, si pudiera dar una idea y ayudar con esto.

Answer 1

Esbozo de prueba:

• Dejemos que $A_k:=\{x\in [0,1], 2^k\leqslant f(x)<2^{k+1}\}$ . Desde $f\in L^p$ , $\sum_{k\in\Bbb Z}2^{kp}\mu(A_k)<\infty$ .
• Basta con mostrar que para cada secuencia $\{t_n\}$ de números reales que aumentan hasta $+\infty$ , $\lim_{n\to +\infty}t_n^p\mu\{x,|f(x)|\geqslant t_n\}=0$ . De hecho, si $t^p\mu(x;|f(x)|\geqslant t)$ no converge a $0$ cuando $n\to\infty$ podemos encontrar $\delta>0$ y una secuencia $t_k$ aumentando a $\infty$ tal que para cada $k$ , $t_k^p\mu(x;|f(x)|\geqslant t_k)\geqslant \delta$ una contradicción.
• Si $\{t_n\}$ es una secuencia de este tipo, y que $N_n$ tal que $2^{N_n}\leqslant t_n<2^{N_n+1}$ . Entonces $$0\leqslant t_n^p\mu\{x,|f(x)|\geqslant t_n\}\leqslant 2^{(N_n+1)p}\mu\{x,|f(x)|\geqslant 2^{N_n}\},$$ y un límite superior es el resto de una serie convergente, es decir $$t_n^p\mu\{x,|f(x)|\geqslant t_n\}\leqslant 2^p\sum_{j\geqslant N_n}2^{jp}\mu(A_j).$$