Teorema básico del cálculo multivariable

Question

Consideremos el siguiente teorema:

Aparece en muchos lugares diferentes, pero siempre con las dos condiciones indicadas:

Uno: $g_i(0,...,0) = {\partial f\over \partial x_i}(0,...,0)$

Dos: $f(x_1,...,x_n) = \sum_i x_i g_i$

Pero, por lo que veo, la primera se deduce de la segunda. Consideremos el caso en dos dimensiones: Supongamos que $f(x,y) = xg(x,y) + yh(x,y)$ donde $f,g,h$ son suaves. Entonces $$ {\partial f \over \partial x } (x,y) = g(x,y) + x {\partial g \over \partial x } (x,y) + y {\partial h \over \partial x } (x,y)$$

y luego

$${\partial f \over \partial x } (0,0) = g(0,0)$$

El mismo argumento sirve para $n$ dimensiones. ¿Qué me falta aquí? (Seguramente, si una se desprende realmente de dos, sólo se indicarían dos).

Si se trata de "dos", entonces, por supuesto, el $g_i$ ya se ha demostrado que existen.

Answer 1

HINT : Esto también se llama Lema de Hadamard . Una de las pruebas más sencillas consiste en conectar el origen y $x$ con una línea recta y representando el restricción de $f$ en esa línea mediante el teorema fundamental del cálculo (sólo porque la restricción es una función en el segmento en $\mathbb{R}$ )