Coordinar la independencia de los objetos geométricos.

Question

Todavía estoy tratando de conseguir una buena comprensión de las motivaciones detrás de los diversos conceptos de Geometría Diferencial. Pero estoy luchando para llegar a un acuerdo con cómo ciertos conceptos tienen este añadido el atributo de ser de coordenadas independientes? ¿Cómo identificar esos objetos, el ser es un espacio de la tangente o una derivada covariante. ¿Cómo se hace para tratar de demostrar que un determinado objeto geométrico es coordinar independiente? Cómo es coordinar la independencia de una parte de la "geometría" de una superficie dada, ¿o no?

P. S.: en Realidad es el concepto de un sistema de coordenadas de la parte de la intrínseca o extrínseca de la geometría? Creo que es la primera, pero a veces espacios incrustados tienden a hacer que me lo piense dos veces.

Edit: les agradecería si la derivada covariante podría ser utilizado como un ejemplo.

Answer 1

Cuando uno piensa de forma intuitiva acerca de la geometría de una superficie/colector, las coordenadas no están involucrados en la imagen mental - usted está pensando acerca de las direcciones, longitudes, volúmenes, etc. Por lo tanto, incluso si nuestro formalismo de la geometría diferencial requiere coordinar gráficos para definir todo en términos de, queremos que los resultados sean en algún sentido independiente de la particular coordenadas elegimos. Hay algunos coordinar dependiente de los objetos que aparecen en DG (por ejemplo, símbolos de Christoffel), pero estos son para conveniencia computacional y si aparecen en un geométricamente expresión significativa que debe ser emparejado con cada uno de los otros por lo que ellos son, de hecho, de coordenadas independientes (es decir, de símbolos de Christoffel debería aparecer solo cuando va acompañada de las derivadas parciales en cuanto a la forma de la derivada covariante).

Algunos autores (a menudo los físicos) definir todo en términos de coordenadas y, a continuación, mostrar que los objetos resultantes son realmente independientes de las coordenadas que se utiliza para definir a ellos. (Por ejemplo, cuando la definición de los componentes de la $V^i$ de algún vector en el sistema de coordenadas $x^i$, habría que comprobar que los componentes $V^\mu$ producido en cualquier otro sistema de coordenadas $\tilde x^\mu$ están relacionados por $$V^i = V^\mu \frac{\partial x^i}{\partial \tilde x^\mu}. \tag{1}$$ Note here that the components $V^i$ are not coordinate-independent, as this equation clearly shows: what is coordinate-independent is the full vector $V^i \partial_i$. The components $V^i$ are often called contravariant instead of invariant, meaning they satisfy the transformation law $(1)$.

En contraste con esto, la mayoría de los modernos planteamientos de la geometría diferencial tratar de definir los objetos sin el uso de coordenadas en el primer lugar. Ahora, por supuesto, en algún momento usted tiene que obtener las coordenadas de los involucrados, ya que son la definición misma de la suave estructura en un colector; pero es sorprendente lo rápido que se puede hacer con ellos. Una vez que haya establecido que la suavidad de una función es coordinar independiente, usted puede hacer todo lo demás en términos de el anillo de $C^\infty(M)$ de las funciones lisas, incluyendo la definición de los vectores, tensores, métricas, conexiones, etc. Por lo tanto, idealmente, uno nunca tiene que demostrar que un objeto es coordinar independiente, ya que uno nunca consiguió coordenadas involucrados en la definición en el primer lugar.

Answer 2

Usted podría estar interesado en el álgebra geométrica. Como Anthony se mencionó, los físicos están demasiado a menudo obsesionados con que expresan todos geométricos cantidades en términos de coordenadas y coordenadas de las bases. El más enfoque matemático de poner todo en una coordenada forma independiente de la ayuda, pero esto se hace por lo general teniendo en cuenta todo como un mapa. Usted puede hacer absolutamente esto, sino que también tiende a perder el geométrica significado de los objetos. Como un ejemplo, hablé con un profesor que tuve para una geometría de Riemann supuesto, y le expliqué el concepto de que el tensor de Riemann es un mapa de bivectors a bivectors (desde orientado aviones orientada a los aviones). Él parecía sorprendido positivamente por este concepto, pero en álgebra geométrica, es la única manera de que el tensor de Riemann se presenta (y la única manera de que se necesita para ser presentado).

Esto es lo que la matemática tradicional presentaciones falta--la fácil capacidad para tratar con objetos geométricos más allá de los vectores, a pesar de que tales conceptos traería considerable claridad a la geometría diferencial.

De un formalismo geométrico de álgebra aplicada a la geometría diferencial es el "universal" álgebra geométrica--un infinito-dimensional álgebra de clifford. Esta toma de distancia de la naturaleza arbitraria de una incrustación; un colector simplemente puede ser considerado como un conjunto de vectores (no de los vectores de tangentes, pero los vectores en un espacio plano). Y debido a que los puntos sobre el múltiple de admisión son los mismos vectores, expresiones como $\partial x/\partial x^i$ no están de la mano agitando una tontería, pero legítimo, bien definidas las expresiones para exponer tangente vectores del colector (esto es en realidad una queja importante Hestenes tiene con la identificación de $\partial/\partial x^i$ como un vector, en parte porque el concepto de derivadas parciales como vectores es incompatible con el álgebra de clifford estructura).

En este punto de vista, entonces, uno siempre puede apelar a los vectores de la base de que el ambiente universal GA e identificar un objeto geométrico como tener una expresión que se ha fijado en términos de los extrínsecos vectores de la base. Es decir, claramente un vector tangente (o de otros geométricamente significativa objeto) puede ser expresada en términos de algunos coordinar los vectores de la base intrínseca para el colector, una expresión que va a cambiar con diferentes opciones de coordenadas, pero la incorporación de la diversidad en la UGA que no cambia con la elección de coordenadas, de modo que el vector tangente no se puede cambiar. Intrínsecamente, uno tendría que recurrir a la regla de la cadena, como Anthony hizo, para identificar el cambio en los componentes de la siguiente enteramente de la función de composición (de la regla de la cadena).

Por supuesto, desde una perspectiva extrínseca, es mucho más fácil, en general, para identificar geométricamente cantidades significativas. La derivada covariante de un campo vectorial es sólo la proyección de la derivada de la proyección, por ejemplo. Intrínsecamente, puede ser más difícil de visualizar.