Dado un anillo, una manera de poner una nueva estructura de anillo en él es por el reetiquetado de los elementos. Por ejemplo, podríamos decidir que llamar $1$ $2$, llame $2$ $3$, llame $-2$ $-1$ y así sucesivamente. Todo lo que es importante es que este mapa es un bijection - un uno-a-uno de la cartografía. Una vez que hemos etiquetar los elementos, entonces podemos aplicar la costumbre de la adición y la multiplicación de las operaciones de las nuevas etiquetas. Matemáticamente, si tenemos un bijection $\phi$ desde el anillo para sí mismo, entonces las operaciones dadas por la conjugación de las operaciones originales con $\phi$; es decir:
\begin{align}
a\oplus b&=\phi^{-1}(\phi(a)+\phi(b))\\
a\otimes b&=\phi^{-1}(\phi(a)\phi(b))\\
\end{align}
Ya que hay una cantidad no numerable de permutaciones de los elementos de $\mathbb Z$, podemos poner una cantidad no numerable de diferentes estructuras de anillo. Sin embargo, estas estructuras de anillo no son realmente diferentes, y en las matemáticas nos dicen que son isomorfos; tienen la misma estructura hasta la reorganización y el reetiquetado de los elementos. Específicamente, $\phi$ es, casi por definición, un isomorfismo de la antigua anillo a la nueva.
Tomando este ejemplo un poco más allá, vemos que aunque nos reservamos la operación de multiplicación en $\mathbb Z$, hay una infinidad de opciones para la operación de adición.
Por ejemplo, dado un entero $n$, definir $\phi(n)$ como sigue: el primer factorizar $n$, y luego intercambiar los exponentes en $2$$3$. Por lo $4=2^2$ hace $3^2=9$ $60=2^2\times3^1\times5^1$ hace $2^1\times3^2\times5^1=90$. A continuación, deje que el operador de suma $\oplus$ ser definido por:
$$
un\oplus b := \phi^{-1}(\phi(a)+\phi(b))
$$
[Nota: en este caso, $\phi^{-1}=\phi$, pero eso no será siempre el caso. Ahora vamos a comprobar que nuestro nuevo anillo de $(\mathbb Z,\oplus,\times)$ todavía satisface los axiomas de anillo.
Es bastante claro que $\mathbb Z$ es todavía un grupo abelian en virtud de la nueva operación (la conjugación con $\phi$ puede ser considerado como un 'reetiquetado' de los miembros de $\mathbb Z$, como en el anterior), por lo que sólo tiene que comprobar la ley distributiva. Antes de hacerlo, debemos estado una propiedad importante de la función de $\phi$: es multiplicativo; es decir, se satisface $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$. Esto es bastante fácil de demostrar, si usted piensa acerca de ello. Tenga en cuenta también que $\phi^{-1}$ es multiplicativa (por ejemplo, desde la $\phi^{-1}=\phi$). Entonces:
\begin{align}
a(b\oplus c)&=a\phi^{-1}(\phi(b)+\phi(c))\\
&=\phi^{-1}(\phi(a))\phi^{-1}(\phi(b)+\phi(c))\\
&=\phi^{-1}(\phi(a)(\phi(b)+\phi(c)))\\
&=\phi^{-1}(\phi(ab)+\phi(ac)\\
&=ab\oplus ac
\end{align}
Ahora la anterior prueba funciona igual de bien si se reemplazan los enteros con cualquier anillo, y la función de $\phi$ con cualquier multiplicativo de la función en el anillo. Hemos intercambiado los papeles de $2$$3$, pero puede permutar los números primos en cualquier forma que te gusta y todavía tener este trabajo. Así que hay de nuevo una cantidad no numerable de posibilidades.
Por desgracia para nosotros, el nuevo anillo todavía es isomorfo a la antigua. Una vez más, $\phi$ nos ofrece un isomorfismo: $phi(a+b)=\phi(a)\oplus\phi(b)$, casi por definición, y $\phi$ es multiplicativa como antes. De hecho, esto es realmente un caso especial de la ejemplo, en el primer párrafo: $\phi$ es una permutación de $\mathbb Z$ que es especialmente elegido para preservar la operación de multiplicación.
Si queremos llegar con un ejemplo de una estructura de anillo en $\mathbb Z$, sin embargo, que todavía se puede. Primero que nada, aviso que el siguiente se define una estructura de anillo en el conjunto de pares de números de $(a,b)$:
\begin{align}
(a,b)+(c,d)&=(a+b,c+d)\\
(a,b)(c,d)&=(ab,cd)
\end{align}
Este anillo no es, ciertamente, isomorfo a $\mathbb Z$: de hecho, en $\mathbb Z$, cualquiera de los dos el número cero se multiplican para dar un número distinto de cero, mientras que aquí, tenemos $(1,0)(0,1)=(0,0)$. Ahora es bien sabido que podemos poner esto en una correspondencia uno a uno con $\mathbb Z$ organizar los pares de números $(a,b)$, en orden creciente de $|a|+|b|$,$|a|$,$a$,$b$:
$$
(0,0),(0,-1),(0,1),(-1,0),(1,0),(0,-2),(0,2),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1),(-2,0),(2,0),\puntos
$$
(incluso si usted no acaba de seguir mi explicación de la realización del pedido, espero que se aprecia que hay una cierta manera de escribir estos pares como una secuencia). A continuación, vaya a lo largo de la secuencia de etiquetado de cada par por $0,-1,1,-2,2,-3,3,\dots$. Este a su vez le da un reetiquetado en $\mathbb Z$, la cual puede ser utilizada para definir una nueva estructura de anillo en $\mathbb Z$ que no es isomorfo a la original anillo. Este truco funciona para cualquier anillo con countably infinitamente muchos de los elementos (es decir, uno que se puede poner en bijection con $\mathbb Z$), y en general, el número de no-isomorfo estructuras de anillo que se puede poner en un anillo es igual al número de anillos con el mismo número de elementos (o a la misma cardinalidad) - acaba de tomar un mapa de un aro a otro, y el conjugado de la suma y la multiplicación de las operaciones con ella como en el primer párrafo.
