Demostrar que $y^2 = x(x-1)(x- \lambda)$ es irreducible todos $\lambda \in k$

Question

Deseo demostrar que $y^2 = x(x-1)(x- \lambda)$ es irreducible todos $\lambda \in k$. Parece que esto sigue del hecho de que $x(x-1)(x- \lambda)$ no se puede escribir como el cuadrado de cualquier polinomio en $x$, pero estoy curiosa si hay una manera más directa/riguroso para probar esto.

Answer 1

Su razonamiento es suficientemente rigurosa: recordar que si $f(T)\in D[T]$, donde $D$ es un dominio y es monic del grado $f$ $2$ o $3$, entonces el $f$ es irreducible en $D[T]$iff $f$ no tiene ninguna raíces en $D$. En su caso se puede ver el polinomio como un polinomio en $y$ con coeficientes en el dominio $k[x]$, y consideraciones sobre el grado de $x$ mostrar que $x(x-1)(x-\lambda)$ no es una plaza en $k[x]$.