Moneda bancos juego de probabilidad; 7 flips flips vs 8

Question

Tu amigo tira una moneda de 7 veces y le da la vuelta a una moneda de 8 veces; la persona que tiene la mayoría de las colas gana. Si usted recibe una cantidad igual, su amigo de la gana.

Hay un 50% de posibilidades de ganar el juego y un 50% de probabilidad de que su amigo de ganar.

¿Cómo puedo demostrarlo? La forma en que lo veo, obtiene más de un tirón de su amigo, para que tener un 50% de probabilidades de ganar si hay un 50% de probabilidades de obtener una de las colas.

Incluso escribí un pequeño script para confirmar esta sospecha:

from random import choice

coin = ['H', 'T']

def flipCoin(count, side):
    num = 0
    for i in range(0, count):
        if choice(coin) == side:
            num += 1
    return num


games = 0
wins = 0
plays = 88888

for i in range(0, plays):
    you = flipCoin(8, 'T')
    friend = flipCoin(7, 'T')
    games += 1
    if you > friend:
        wins += 1

print('Games: ' + str(games) + ' Wins: ' + str(wins))
probability = wins/games * 100.0
print('Probability: ' + str(probability) + ' from ' + str(plays) + ' games.')

y como era de esperar,

Games: 88888 Wins: 44603
Probability: 50.17887678876789 from 88888 games.

Pero, ¿cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Bien, supongamos que se tienen dos jugadores de $A$ y $B$. Deje que ellos flip $7$ monedas cada uno. Quien obtiene más colas gana, los lazos de descuento. Es obvio que ambos jugadores tienen la misma probabilidad de ganar $p=0.5$.

Ahora vamos a extender este. Como ambos jugadores tienen la misma probabilidad de ganar los siete primeros tiros, creo que podemos descartar a ellos y a ver el 8 de tirar como criterio de desempate. Así que vamos a dar reproductor de $A$ el 8 de toss: si se pone una cola, él gana, de lo contrario, se pierde. Así que con $p = 0.5$, él va a ganar o perder en este 8 de lanzamiento. Poniéndolo como este, podemos ver que el 8 de tirar para el jugador $A$ es equivalente a dar a los jugadores de otro lanzamiento y descartando los lazos, por lo que ambos jugadores tienen probabilidades de ganar de $0.5$.

Answer 2

La distribución de probabilidad del número de colas volteado por que es binomial con parámetros $n = 8$ y $p$, donde tomaremos $p$ a ser la probabilidad de obtención de colas de un solo tirón. A continuación, el número aleatorio de colas se da la vuelta $$ Y tiene la función de masa de probabilidad $$\Pr[Y = k] = \binom{8}{k} p^k (1-p)^{8-k}.$$ Del mismo modo, el número de colas de $F$ volteado por su amigo es $$\Pr[F = k] = \binom{7}{k} p^k (1-p)^{7-k},$$ suponiendo que la moneda le da la vuelta y la moneda de su amigo voltea tienen la misma probabilidad de colas.

Ahora, supongamos que estamos interesados en calcular $$\Pr[Y > F],$ de$ la probabilidad de ser estrictamente más colas que tu amigo (y por lo tanto, usted gana). Un cálculo exacto sería necesario, entonces, la evaluación de la suma de $$\begin{align*} \Pr[Y > F] &= \sum_{k=0}^7 \sum_{j=k+1}^8 \Pr[Y = j \cap F = k] \\ &= \sum_{k=0}^7 \sum_{j=k+1}^8 \binom{8}{j} p^j (1-p)^{8-j} \binom{7}{k} p^k (1-p)^{7-k}, \end{align*} $$ ya que su resultado $Y$ es independiente de su resultado de $F$. Para un pequeño número de ensayos, esto no es difícil de calcular: $$\begin{align*} \Pr[Y > F] &= p^{15}+7 p^{14} q+77 p^{13} p^2+203 p^{12} p^3+903 p^{11} p^4+1281 p^{10} q^5 \\ &+3115 p^9 p^6+2605 p^8 p^7+3830 p^7 p^8+1890 p^6 p^9+1722 p^5 q^{10} \\ &+462 p^4 p^{11}+252 p^3 p^{12}+28 p^2 q^{13}+8 p p^{14}, \end{align*}$$ donde $q = 1-p$. Por $p = 1/2$--una moneda--esto es exactamente de $1/2$.

Que me parece sorprendente! Pero hay una interpretación intuitiva. Piense en su último lanzamiento como criterio de desempate, en el caso de que ambos tienen el mismo número de colas después de los 7 ensayos cada uno. Si usted gana el último lanzamiento con una cola, usted gana porque su cola contar ahora es estrictamente mayor. Si no, su cola contar todavía es el mismo que el suyo, y en virtud de las reglas, él gana. Pero las posibilidades de que cualquiera de los resultados para el criterio de desempate es el mismo.

Answer 3

Otra manera de pensar: cambiando todas las cabezas y colas, el ganador siempre es invertido. Por ejemplo, 2T 5H beat 2T 6H, pero H 2 5T perdería 2H 6 t. O, le ganaría 7H a 8H, pero perdería 7T 8 t.

Esto da una única asignación uno a uno entre el conjunto en el que ganar y el conjunto donde gana tu amigo. Los conjuntos son de igual tamaño, por lo que deben tener 50% de probabilidad.

Answer 4

Aislar su octavo lanzamiento.

Considerar dos casos:

1. Los primeros siete lanzamientos no termine en un empate. Esto decide el juego porque su octavo lanzamiento es irrelevante (tu amigo gana lazos).

2. El primer extremo de siete lanzamientos en un empate. El octavo sorteo decide el juego.

En cada caso, tienes una oportunidad de $ $50\ % de ganar.

Answer 5

Prueba sin ningún tipo de fórmulas o números: se acaba de crear un juego diferente que se producen exactamente el mismo ganador, y donde es evidente que ambos tienen las mismas posibilidades de ganar.

Usted y su amigo cada lanzamiento de ocho veces. Si uno tiene más colas que el otro, que uno es el ganador. Si el número de colas son iguales (cuatro cada uno), que se quite sus amigos la última sacudida; si tienes más colas que usted es el ganador, si el número de colas es igual que él es el ganador.

Si una "cola" es retirado, usted es el ganador. Si "cabeza" es eliminado, su amigo es el ganador. Que tenían las mismas posibilidades de ser el ganador después de ocho tiros, y si hay un empate después de ocho tiros, que tienen las mismas posibilidades de acabar el total ganador así.