Demostrar que para cualquier entero positivo n, $(3n)!/(3!)^n$ es un entero.

Question

Esta es también una pregunta en mi papel de examen que probé usando inducción matemática. Sin embargo, mi tutora me dice que puede ser probada sin usar inducción matemática. Realmente quiero saber cómo afrontar de otra manera.

Demostrar que para cualquier entero positivo n, $(3n)!/(3!)^n$ es un entero.

Answer 1

Indirecta: $$\begin{align} &\binom{3n}{3}\binom{3n-3}{3}\binom{3n-6}{3}\cdots\binom{6}{3}\binom{3}{3}\\ &=\frac{(3n)!}{\color{#C00000}{(3n-3)!}3!}\frac{\color{#C00000}{(3n-3)!}}{\color{#00A000}{(3n-6)!}3!}\frac{\color{#00A000}{(3n-6)!}}{\color{#A0A0A0}{(3n-9)!}3!} \cdots\frac{\color{#A0A0A0}{6!}}{\color{#0000FF}{3!}3!}\frac{\color{#0000FF}{3!}}{0!3!}\\ &=\frac{(3n)!}{(3!)^n} \end {Alinee el} $$ no desaparecen sólo los términos negro sólidos.

Answer 2

Sugerencia: ¿De cuántas maneras existen para formar $n$ triples de los primeros enteros positivos $3n$?

Answer 3

Cuenta cuántos números hay son hasta 3n. ¿Usted debe recibir al menos n. que semejantemente cómo hacen múltiplos de 3 se obtiene? Eso significa que el $2^n$ y $3^n$ dividen su número. Esto implica que el $6^n$ divide su número. ¿Por qué?

Answer 4

Sugerencia: $3! \mid (3k-2)(3k-1)3k$ $k=1,2,\ldots n$.

Answer 5

En el producto $(3n)! = 3n \times (3n - 1) \times \dots \times 2 \times 1$, precisamente $n$ términos son divisibles por $3$, que $3^n\ |\ (3n)!$ y $\lfloor\frac{3n}{2}\rfloor \geq n$ términos divisible por $2$, que $2^n\ |\ (3n)!$. $2^n$ Y $3^n$ son coprimos, $3^n2^n\ | (3n)!$. Ahora tenga en cuenta que $(3!)^n = (3\times 2\times 1)^n = 3^n\times 2^n \times 1^n = 3^n2^n$.