¿Cómo calcular $\zeta (0)$?

Question

En última instancia, estoy interesado en analíticamente continua la función $$ \eta _a(s):=\sum _{n=1}^\infty \frac{1} {n^2+a^2)^s}, $$ donde $a$ es un no número real negativo, y el cálculo de $\eta _a$ y sus derivados (al menos la primera derivada) en el origen: $\eta _a(0),\eta _a'(0),\ldots $.

Es bien sabido que el $\zeta (0)=-\tfrac{1}{2}$ y $\zeta '(0)=-\tfrac{1}{2}\ln (2\pi)$, pero yo en realidad no saben cómo obtener estos ($\zeta$ es, por supuesto, la de Riemann Zeta función). Pensé que, tal vez si yo sabía cómo calcular estos valores, me gustaría ser capaz de generalizar la técnica para ser capaz de calcular los valores correspondientes de $\eta _a$.

Entonces, ¿cómo hace uno para calcular $\zeta (0)$, $\zeta '(0)$, etc.? Si esta técnica no obviamente generalizar a $\eta _a$, alguna idea de cómo podría ir sobre el cálculo de estos valores?

Answer 1

Por la ecuación funcional de la función zeta:

$$\zeta(s)=2^s\pi^{s-1}\sin\frac{\pi s}2\Gamma(1-s)\zeta(1-s)$$

Ahora usamos el hecho de que la función zeta tiene una simple poste de $\,s=1\,$ con residuo $\,1\,$ (esto es, en mi opinión, una de las más bellas de las cosas elementales que pueden ser probadas acerca de esta maravillosa función), y esto significa que

$$\lim_{s\to 1}(s-1)\zeta(s)=1$$

Ahora, usando la ecuación funcional para la Función Gamma $\,s\Gamma(s)=\Gamma(s+1)\;$, se multiplica la ecuación funcional de zeta por $\,(1-s)\;$ y, a continuación, pasar el límite al $\,s\to 1\;$:

$$(1-s)\zeta(s)=2^s\pi^{s-1}\sin\frac{\pi s}2\left[(1-s)\Gamma(1-s)\right]\zeta(1-s)\implies$$

$$\lim_{s\to 1}(1-s)\zeta(s)=-1=\lim_{s\to 1}\;\Gamma(2-s)2^s\pi^{s-1}\zeta(1-s)=1\cdot 2\zeta(0)\implies$$

$$\zeta(0)=-\frac12$$

Answer 2

Hay un documento aparece en línea que debe responder a sus preguntas. Si dejas que $P(x)=1$ y $Q(x)=x^2 + a^2$ entonces usted está buscando en $$\eta_a(s)= \sum P(k)/Q(k)^s.$ $

Este documento sugiere que $\eta_a(s)$ sigue a $s$-plano y proporciona valores de $\eta_a(0),$ $\eta_a'(0).$

http://www.Math.Nagoya-u.AC.jp/~kohjimat/Weng.pdf