Acerca de Path-connected

Question

Sea $a=(a_1,a_2,...,a_k)$ y $b=(b_1,b_2,...,b_k)$ sean puntos en un espacio k-dimensional $\mathbb{R}^k$ . Un camino de $a$ a $b$ es una función continua en el intervalo unitario $[0,1]$ con valores en $\mathbb{R}^k$ una función $X:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^k$ , enviando $t\rightsquigarrow X(t)=(x_1(t),...,x_k(t))$ tal que $X(0)=a$ y $X(1)=b$ . Si $S$ es un subconjunto de $\mathbb{R}^k$ y si $a$ y $b$ están en $S$ definir $a\sim b$ si $a$ y $b$ pueden unirse mediante un camino que discurra íntegramente por $S$ .

$\textbf{(a)}$ Demuestra que $\sim$ es una relación de equivalencia en $S$ . Asegúrate de que las rutas que construyes se mantienen dentro del conjunto $S$ .

$\textbf{(b)}$ Un subconjunto $S$ es $\textit{path connected}$ si $a\sim b$ para dos puntos cualesquiera $a$ y $b$ en $S$ . Demuestre que todo subconjunto $S$ se divide en subconjuntos conectados por caminos con la propiedad de que dos puntos de subconjuntos diferentes no pueden estar conectados por un camino en $S$ .

$\textbf{(c)}$ ¿Cuál de los siguientes loci en $\mathbb{R}^2$ están conectadas por caminos: $\{x^2+y^2=1\},\{xy=0\},\{xy=1\}$

Para $\textbf{(a)}$ debería probar tres propiedades: "transitiva", "simétrica", "reflexiva". La prueba de "simétrica" y "reflexiva" son fáciles, y mi trabajo para "transitiva" es el siguiente:

transitivo:

$a\sim b :X_1(0)=a,X_1(1)=b$ ;

$b\sim c: X_2(0)=b,X_2(1)=c$ .

A continuación, construyo una función $X_3(t)=(1-t)X_1(t) + tX_2(t)$ y tenemos $X_3(0)=a,X_3(1)=c$ .

Pero después de trabajar con $\textbf{(c)}$ Me parece que $X_3$ que he construido, puede que no se mantenga dentro del conjunto $S$ . ¿Cómo debo construirlo?

Para $\textbf{(b)}$ Creo que se deduce de $\textbf{(a)}$ Puesto que una relación de equivalencia sobre un conjunto $S$ determina una partición de $S$ . ¿Está satisfecho?

Para $\textbf{(c)}$ He construido funciones para demostrar los dos primeros, pero para el último, es decir. $\{xy=1\}$ Lo sé. $a(-1,-1),b(1,1)$ podría ser un contraejemplo, pero no sé cómo demostrarlo.

Answer 1

Es cierto que la función $X_{3}$ tal y como lo has construido no resuelve este problema. Lo que hay que hacer para $X_{3}$ para demostrar la transitividad (y lo que supongo que esencialmente hiciste para el conjunto $\{(x,y) | xy = 0\}$ ) es construir un nuevo camino que siga primero $X_{1}$ y luego $X_{2}$ :

$$ X_{3}(t) = \begin{cases} X_{1}(2t) & \textrm{ if } & 0 \leq t \leq 1/2 \\ X_{2}(2t-1) & \textrm{ if } & 1/2 \leq t \leq 1 \end{cases}.$$

Hay que decir unas palabras sobre la continuidad en torno a $t=1/2$ pero no está tan mal.

En cuanto a la última parte, ¿puedes utilizar la noción de Conectado? Supongo que aún no tienes el hecho "Conectado por camino implica Conectado", que sería útil. Pero esencialmente puedes hacer ese argumento directamente. Supongamos que tienes un camino $X(t)$ de $(1,1)$ a $(-1,-1)$ . Concéntrese en sus componentes: $X(t) = (f(t),g(t))$ . Entonces $f$ y $g$ son funciones continuas de valor real. Aplique el teorema del valor intermedio para demostrar que $f(t) = 0$ en algún momento $0 \leq t \leq 1$ . Entonces en ese punto, $xy \neq 1$ y has abandonado el plató $\{xy = 1\}$ .

Answer 2

Demuestra que $\sim$ es una relación de equivalencia en $S$ . Asegúrate de que las rutas que construyes se mantienen dentro del conjunto $S$ .

Fijar $a,b\in S$ . La trayectoria constante $X(t)=a$ de $a$ a $a$ muestra que $a\sim a$ . Si $a\sim b$ y $X$ es una ruta desde $a$ a $b$ totalmente en $S$ entonces $X'(t) = X(1-t)$ es un camino (el "reverso" de $X$ ) de $b$ a $a$ totalmente en $S$ Así que $b\sim a$ .

Una vez establecidas la reflexividad y la simetría, queda por demostrar la transitividad. Si $$a\sim b,\text{ }b\sim c\text{ for some }a,\,b,\,c\in S,$$ con $X$ tomando $a$ a $b$ y $Y$ tomando $b$ a $c$ (ambos $X$ , $Y$ totalmente en $S$ ), luego concatenar (y escalar por $1/2$ ) $X$ , $Y$ da una ruta válida desde $a$ a $c$ . Más explícitamente, $$Z:[0,1]\to\mathbb{R}^k,\text{ }Z(t) = \begin{cases} X(2t) & \text{if }t \in [0,1/2] \\ Y(2t-1) & \text{if }t \in (1/2,1]\end{cases}$$ toma $a$ a $c$ se queda en $S$ y es continua en ambos intervalos $[0,1/2]$ y $(1/2,1]$ y es continua en $1/2$ también, porque $$\lim_{r\to1^-} X(r) = X(1) = b = Y(0) = \lim_{r\to0^+} Y(r).$$

Un subconjunto $S$ es $\textit{path connected}$ si $a\sim b$ para dos puntos cualesquiera $a$ y $b$ en $S$ . Demuestre que todo subconjunto $S$ se divide en subconjuntos conectados por caminos con la propiedad de que dos puntos de subconjuntos diferentes no pueden estar conectados por un camino en $S$ .

Por definición, cada clase de equivalencia $$[a] = \{s\in S: s\sim a (\iff a\sim s)\}$$ de $\sim$ está conectada por un camino. Pero para $a$ , $b\in S$ las tres afirmaciones siguientes son equivalentes:

1. $a\sim b$ ;
2. $[a] = [b]$ ;
3. $[a]$ , $[b]$ tienen intersección no vacía.

La simetría y la transitividad juntas dan como resultado $(1)\implies (2)$ y $(3)\implies (1)$ la no vacuidad de las clases de equivalencia, a partir de la reflexividad, da $(2)\implies (3)$ .

Para terminar, basta con señalar que $(3)\implies(2)$ y $a\in [a]$ juntos demuestran que $\sim$ particiones $S$ en componentes conectados por trayectorias (clases de equivalencia), mientras que $\neg(2)\implies\neg(1)$ demuestra que dos puntos en componentes distintos no pueden estar conectados por un camino en $S$ .

Answer 3

Sea $U:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:x,y>0\}$ y $V:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:x,y<0\}$ . Entonces $U$ y $V$ forman una separación de $\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:xy=1\}$ . Desde $\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:xy=1\}$ no está conectado, no está conectado por trayectoria.