Ejemplo donde$\limsup A_i \neq \liminf A_i$, punto de aclaración.

Question

Esta es una pregunta sobre lo que está escrito aquí .

Si$A_i$ es una secuencia de conjuntos, define$$\liminf_i A_i = \bigcup_{j = 1}^\infty \bigcap_{i = j}^\infty A_i, \quad \limsup_i A_i = \bigcap_{j = 1}^\infty \bigcup_{i = j}^\infty A_i.$$What is an example where $ \ liminf_i A_i \ neq \ limsup_i A_i $?

Tome$A_{2i} = \emptyset$ y$A_{2i+1} = \{1\}$. ¿Por qué es que$\liminf$ es$\emptyset$ mientras que el$\limsup$ es$\{1\}$? ¿Cómo veo estas dos cosas?

Answer 1

Para cualquier$n$,$A_{2n} \cap A_{2n+1} = \emptyset$ y$A_{2n}\cup A_{2n+1}=\{1\}$.

Así que$\cap_{i\geq j}A_i\subset A_{i}\cap A_{i+1}=\emptyset$ de ahí$\cap_{i\geq j}A_i=\emptyset$ so$\cup_{j\geq1} \cap_{i\geq j}A_i=\cup_{j\geq1}\emptyset= \emptyset$.

Nuevamente,$\cup_{i\geq j}A_i\supset A_i\cup A_{i+1}=\{1\}$ y como cada$A_i$ es$\emptyset$ o$\{1\}$ tenemos ese$\cup_{i\geq j}A_i=\{1\}$ Así$\cap_{j\geq1}\cup_{i\geq j}A_i=\cap_{j\geq1}\{1\}=\{1\}$.

Answer 2

Respuesta intuitiva.

La secuencia de $A_n$ es de la siguiente manera:

$$\emptyset, \{1\},\emptyset, \{1\},\emptyset, \{1\},\emptyset, \{1\},\emptyset, \{1\},...$$

El límite inferior de la secuencia de los elementos de $\Omega$ s.t. después de algún índice de $m$ dichos elementos será en $A_m, A_{m+1}, A_{m+2},...$

Vamos a tratar de $m=1$. Qué elementos de la $\Omega$ están en $A_1$, $A_2$,...? Ninguno! Precisamente, los elementos de $\emptyset$ están en $A_1$, $A_2$,...

Lo mismo es cierto para $m=2$, $m=3$, etc.

El límite superior de la secuencia de los elementos de $\Omega$ s.t. para cada índice $m$, dichos elementos se encuentran en algún futuro (set con índice mayor que $m$).

Por ejemplo, vamos a tratar de $m=1$, ¿cuáles son los elementos de $\Omega$ que están en algún futuro? $1$ parece funcionar.

Vamos a tratar de $m=1$, ¿cuáles son los elementos de $\Omega$ que están en algún futuro? $1$ parece funcionar. Es en $A_2$. Es también en $A_4$, $A_{100}$ y $A_{645245444}$

Vamos a tratar de $m=2$, ¿cuáles son los elementos de $\Omega$ que están en algún futuro? $1$ parece funcionar. Es en $A_{6554}$.

Answer 3

$\lim \inf A_i$ puede ser interpretado como "el conjunto de elementos que eventualmente están contenidos en todos los conjuntos más allá de cierto índice" mientras que$\lim \sup A_i$ es "el conjunto de elementos que se visitarán infinitamente a menudo".

A partir de estas interpretaciones intuitivas, podemos ver que para su ejemplo, sólo$\emptyset$ está contenido en cada conjunto mientras$1$ ocurre infinitamente a menudo.