¿Cómo de gordo es un triángulo?

Question

El factor de delgadez de una forma geométrica en 2 dimensiones es la relación entre la longitud lateral de su cuadrado contenedor más pequeño y su cuadrado contenedor más grande. Este es un factor importante en la geometría computacional. Así, la esbeltez de un cuadrado es 1, la esbeltez de un círculo es $\sqrt 2$ Pero, ¿cuál es el factor de esbeltez de un triángulo determinado?

Después de intentar sin éxito resolver esto geométricamente, decidí probar una solución puramente analítica. Aquí está:

El triángulo

La gordura, obviamente, no depende de la escala. Por lo tanto, dos parámetros son suficientes para definir el triángulo. Elijo como parámetros un ángulo $\theta$ adyacente al lado más largo y la relación $D$ entre el lado próximo a ese ángulo y el lado más largo. Tenemos que encontrar la gordura en función de $\theta$ y $D$ .

Normalizar el triángulo de manera que su lado más largo se encuentre en el eje x, entre $(0,0)$ y $(1,0)$ . Definir $\theta$ como el ángulo en el origen. Gira el triángulo de forma que $\theta$ está entre $0^\circ$ y $90^\circ$ . En aras de la brevedad, dejemos que $C=\cos \theta$ y $S=\sin \theta$ . $D$ es la longitud del lado que empieza en el origen, de modo que el tercer vértice del triángulo está en $(DC,DS)$ , donde $0<D<1$ , $0\leq C<1$ y $0\leq S<1$ .

El factor de esbeltez debe calcularse en función de los parámetros $D$ , $C$ y $S$ .

El cuadrado de contención

Considere el cuadrado de la unidad $[0,1]\times[0,1]$ . Queremos transformarlo para que contenga el triángulo. Una transformación general de un punto $(x,y)$ es: $(rcx+rsy+h, rsx-rcy+v)$ donde: $r$ es el factor de dilatación, $s$ y $c$ son el seno y el coseno del ángulo de rotación (podemos suponer que ambos están en $[0,1]$ debido a la simetría rotacional del cuadrado), $h$ es la traslación horizontal y $v$ es la traslación vertical. Así que una transformación general del cuadrado unitario tiene los siguientes ángulos:

• $(h,v)$
• $(rc+h,rs+v)$
• $(rs+h,-rc+v)$
• $(rc+rs+h, rs-rc+v)$

y los siguientes lados:

• $s(x-h)=c(y-v)$
• $s(x-h-rs)=c(y-v+rc)$ que es lo mismo que $s(x-h)=c(y-v)+r$
• $c(x-h)=-s(y-v)$
• $c(x-h-rc)=-s(y-v-rs)$ que es lo mismo que $c(x-h)=-s(y-v)+r$

Para contener el triángulo, cada vértice $(x,y)$ del triángulo deben estar en los 4 semiplanos definidos por los 4 lados del cuadrado:

• $c(y-v)\leq s(x-h)\leq c(y-v)+r$
• $-s(y-v)\leq c(x-h)\leq -s(y-v)+r$

Ahora, sustituye cada uno de los 3 vértices del triángulo y obtén, para $(0,0)$ , $(1,0)$ y $(DC,DS)$ respectivamente:

• $-cv\leq -sh\leq -cv+r$
• $sv\leq -ch\leq sv+r$
• $-cv\leq s-sh\leq -cv+r$
• $sv\leq c-ch\leq sv+r$
• $c(DS-v)\leq s(DC-h)\leq c(DS-v)+r$
• $-s(DS-v)\leq c(DC-h)\leq -s(DS-v)+r$

Aquí hay un total de 12 desigualdades. Nuestro objetivo es encontrar la menor $r$ de manera que haya $c,s,h,v$ satisfaciendo todas estas 12 desigualdades.

Eliminando algunas desigualdades y ordenaciones redundantes, obtenemos:

• $r\geq s+cv-sh$
• $cv-sh\geq 0$
• $r\geq c-ch-sv$
• $-ch-sv\geq 0$
• $r\geq s(DC-h)-c(DS-v)=sDC-cDS+cv-sh$
• $r\geq c(DC-h)+s(DS-v)=cDC+sDS-ch-sv$

Para hacer $r$ lo más pequeño posible, debemos seleccionar $h$ y $v$ de tal manera que las desigualdades 2 y 4 se convierten en cero. Entonces nos quedamos con las siguientes desigualdades que $r$ debe satisfacer:

1. $r\geq s$
2. $r\geq c$
3. $r\geq cDC+sDS$

Aquí estoy atascado: ¿cómo puedo resolver este problema de optimización?

La plaza contenida

Consideremos de nuevo el cuadrado unitario $[0,1]\times[0,1]$ . Ahora queremos transformarlo para que esté contenido en el triángulo. Las 4 esquinas del cuadrado deben satisfacer las 3 desigualdades dictadas por los lados del triángulo, que son:

• $y\geq 0$
• $xDS\geq yDC$
• $(1-x)DS\geq (1-DC)y$

Sustituyendo las 4 esquinas del cuadrado se obtienen las siguientes 12 desigualdades que debe satisfacer r, algunas de las cuales son redundantes:

• $-rc+v\geq 0$

• $v\geq 0$ (redundante)

• $rs+v\geq 0$ (redundante)

• $rs-rc+v\geq 0$ (redundante)

• $hDS\geq vDC$

• $(rc+h)DS\geq (rs+v)DC$

• $(rs+h)DS\geq (-rc+v)DC$ (redundante)

• $(rc+rs+h)DS\geq (rs-rc+v)DC$ (redundante)

• $(1-rc-h)DS\geq (1-DC)(rs+v)$

• $(1-h)DS\geq (1-DC)v$ (redundante)

• $(1-rc-rs-h)DS\geq (1-DC)(rs-rc+v)$

• $(1-rs-h)DS\geq (1-DC)(-rc+v)$ (redundante)

Estas implican las siguientes 5 desigualdades (nótese que esta vez el sentido de las desigualdades es inverso porque buscamos maximizar $r$ con sujeción a las desigualdades):

1. $cr \leq v$
2. $0\leq hDS-vDC$
3. $(sDC-cDS)r \leq hDS-vDC$
4. $(s-sDC+cDS)r\leq DS-v-hDS+vDC$
5. $(s-c-sDC+cDC+sDS+cDS)r\leq DS-v-hDS+vDC$

Aquí, de nuevo, estoy atascado...

El último paso es simplemente dividir los dos $r$ pero, ¿cómo puedo encontrar cada $r$ ?

Nota

Estoy buscando una fórmula que dé la gordura en función de $\theta$ y $D$ . Sin embargo, si crees que hay otro par de parámetros por los que es más conveniente representar la gordura (por ejemplo, los dos ángulos más pequeños), entonces esto también es bienvenido.

Answer 1

No creo que el uso de cuadrados sea una buena idea. Si en su lugar se utiliza la proporción $r/R$ del inradio al circunradio, se obtiene una fórmula muy limpia:
$$ 4\sin(A/2)\sin(B/2)\sin(C/2), $$ donde $A, B, C$ son los ángulos del triángulo. Véase, por ejemplo aquí .

Answer 2

El cuadrado de contención

Si imaginamos que giramos el triángulo en un ángulo $\theta$ y midiendo la anchura (mínimo $x$ coordinar al máximo $x$ coordenada, como podría medirse con un calibre vernier ), obtenemos una función de anchura $w(\theta)$ que puede expresarse en términos de las longitudes de los lados $s_1,s_2,s_3$ y el lado rúbricas $\phi_1, \phi_2, \phi_3$ como $$w(\theta)=\max\left( s_1\left|\cos(\phi_1-\theta)\right|, s_2\left|\cos(\phi_2-\theta)\right|, s_3\left|\cos(\phi_3-\theta)\right| \right).$$ (Nótese que el máximo de esos tres valores, que representa el lado que se extiende desde el mínimo $x$ coordenada al máximo $x$ coordenada, siempre es igual a la suma de las otras dos).

Un cuadrado cuyos lados tienen cabeceras $\theta$ y $\theta+\pi/2$ puede caber alrededor del triángulo si sus lados tienen una longitud de al menos $q(\theta)=\max\left(w(\theta),w(\theta+\pi/2)\right)$ .  El cuadrado de contención más pequeño es $\min_\theta q(\theta)$ .

Desde $q$ es el máximo de seis sinusoides rectificados, su mínimo debe estar en uno de los valores de $\theta$ donde confluyen (al menos) dos sinusoides máximas.  Hay como máximo seis valores de este tipo en $[0,\pi/2]$ ( $q$ es periódica con periodo $\pi/2$ ) por lo que se pueden enumerar para encontrar el mínimo.

Configuraciones geométricas del cuadrado mínimo: Para los triángulos que tienen como máximo un ángulo por debajo de $\pi/4$ Hay dos configuraciones posibles: (1) Un vértice del triángulo está en una esquina del cuadrado, con los otros dos vértices en los dos lados lejanos, y/o (2) dos vértices del triángulo están en un lado del cuadrado, con el tercer vértice en el lado opuesto.  Triángulos con dos ángulos inferiores $\pi/4$ utilizar una tercera configuración: (3) El cuadrado tiene como diagonal el lado largo del triángulo.  Por ejemplo, un triángulo con $(s_1,s_2,s_3)=(6,9,9)$ da lugar a la configuración (1), mientras que $(8,9,9)$ da lugar a la configuración (2), y $(14,9,9)$ da lugar a la configuración (3).

La plaza contenida

Como todo triángulo es convexo, el cuadrado está dentro del triángulo si sus cuatro vértices están en el triángulo.

Si un lado del triángulo no es tocado por las esquinas del cuadrado, a homotecia (centrado en el vértice donde se encuentran los otros dos lados) puede ampliar el cuadrado manteniéndolo en el triángulo.  Por lo tanto, los vértices del cuadrado máximo tocan los tres lados del triángulo.

Si dos de los lados del triángulo se tocan sólo en su vértice común (por esquina cuadrada $A$ ), entonces el tercer lado del triángulo sólo puede ser tocado por la esquina $C$ (la esquina diagonalmente opuesta a $A$ ).  En este caso, el cuadrado no es máximo, ya que puede girarse y ampliarse permaneciendo dentro del triángulo.  Por lo tanto, al menos tres de las esquinas del cuadrado se encuentran en el triángulo.

Si dos esquinas del cuadrado están en el mismo lado (digamos $b$ ) del triángulo, entonces el cuadrado puede ser máximo.  Es fácil encontrar el cuadrado más grande que se asienta sobre el lado $b$ : O bien $b$ es uno de los lados cortos de un triángulo obtuso, en cuyo caso el cuadrado mayor tiene un vértice en el ángulo obtuso, o bien el altitud $h_b$ a un lado $b$ está dentro del triángulo, en cuyo caso el cuadrado mayor tiene sus otros dos vértices en los otros dos lados del triángulo, y tiene una longitud lateral de la mitad de la media geométrica de las longitudes de $h_b$ y $b$ , a saber $s=\frac{h_b b}{h_b + b}$ .  Encontrando el mayor cuadrado para cada uno de los tres lados del triángulo, podemos encontrar fácilmente el mayor de estos tres cuadrados, que como veremos pronto es efectivamente el máximo posible.

El único caso que queda es que tres vértices del cuadrado se encuentren en el interior de los tres lados del triángulo, con el cuarto vértice estrictamente dentro del triángulo.   En este caso, el cuadrado puede volver a girarse y ampliarse.  Esto puede verse considerando las trayectorias de las otras esquinas del cuadrado como dos esquinas que se deslizan hacia adelante y hacia atrás en dos lados del triángulo: Las trayectorias son elípticas.  Esto significa que el cuadrado puede moverse de forma que dos vértices permanezcan en el triángulo, y (al menos en una dirección) el tercer vértice se desplazará hacia el interior del triángulo, por lo que (como en el primer caso anterior) el cuadrado no es máximo.

Answer 3

Después de todos esos comentarios míos de aperitivo, el propio OP está pidiendo : ¿qué fórmula describe la delgadez de un triángulo, basada en Elipse de Steiner s? Así que es hora de dar de comer algo de carne al público :-)
Para la elipse de Steiner, la elipse de mejor ajuste o la elipse de inercia (todas son similares) se necesitan las varianzas (en términos estadísticos) de los momentos. similares) son las varianzas (en términos estadísticos) de los momentos de inercia (en términos físicos). física). Para calcular estos últimos, hay tres posibilidades:

1. Caso más sencillo: todo el peso del triángulo está en los vértices $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$
2. El triángulo está formado por tres barras y todo el peso está ahí
3. El triángulo se corta de una placa y el peso se distribuye uniformemente sobre su área

El punto de vista de la zona se ha trabajado en la referencia Elipses y variantes de Steiner . En la última página de esta referencia se encuentra también la importante afirmación de que la elipse mejor ajustada de un triángulo es una elipse inercial y es la elipse interior de Steiner. Para simplificar, adoptaremos aquí el caso del peso en los vértices. Consulta la referencia, o resuelve tú mismo el segundo caso, si quieres otra cosa. $$ \mu_x = (x_1+x_2+x_3)/3 \quad ; \quad \mu_y = (y_1+y_2+y_3)/3 \\ \sigma_{xx} = (x_1^2+x_2^2+x_3^2)/3 - \mu_x^2 = \frac{2}{9}(x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_1x_2-x_1x_3-x_2x_3) \\ \sigma_{yy} = (y_1^2+y_2^2+y_3^2)/3 - \mu_y^2 = \frac{2}{9}(y_1^2+y_2^2+y_3^2-y_1y_2-y_1y_3-y_2y_3) \\ \sigma_{xy} = \left[(x_1-\mu_x)(y_1-\mu_y)+(x_2-\mu_x)(y_2-\mu_y)+(x_3-\mu_x)(y_3-\mu_y)\right]/3 = \\ \frac{1}{9}(2x_1 y_1 + 2x_2 y_2 + 2x_3 y_3 - x_1 y_2 - x_2 y_1 - x_2 y_3 - x_3 y_2 - x_1 y_3 - x_3 y_1) $$ La elipse de inercia mejor ajustada es: $$ \frac{\sigma_{yy}(x-\mu_x)^2 - 2\sigma_{xy}(x-\mu_x)(y-\mu_y) + \sigma_{xx}(y-\mu_y)^2} {\sigma_{xx}\sigma_{yy}-\sigma_{xy}^2} = 2 $$ Los valores propios de la matriz de covarianza (de inercia) están relacionados con los ejes de la elipse: $$ \left| \begin{matrix} \sigma_{xx}-\lambda & \sigma_{xy} \\ \sigma_{xy} & \sigma_{yy}-\lambda \end{matrix} \right| = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad \lambda^2 - (\sigma_{xx}+\sigma_{yy})\lambda + (\sigma_{xx}\sigma_{yy}-\sigma_{xy}^2) = 0 $$ Renombrar (Rastro y Determinante): $$ \mbox{Tr} = \sigma_{xx}+\sigma_{yy} \qquad ; \qquad \mbox{Det} = \sigma_{xx}\sigma_{yy}-\sigma_{xy}^2 $$ Entonces las soluciones son (muy reales y positivas): $$ \lambda_{\pm} = \mbox{Tr}/2 \pm \sqrt{\left(\mbox{Tr}/2\right)^2 - \mbox{Det}} $$ La excentricidad de la elipse es: $$ \epsilon = \sqrt{\frac{\lambda_{+}}{\lambda_{-}}} = \frac{\sqrt{\lambda_{+}\lambda_{-}}}{\lambda_{-}} = \frac{\sqrt{\mbox{Det}}}{\lambda_{-}} = \frac{\lambda_{+}}{\sqrt{\mbox{Det}}} $$ Que es la fórmula que has pedido (ojalá).
(Des)afortunadamente sólo tengo un programa que genera imágenes para el caso de que el peso del triángulo se distribuya uniformemente sobre su área (que de todos modos parece ser el más interesante):

Actualización. Cabe preguntarse si la elección de una de las vistas del triángulo, como 3 vértices (1) como 3 barras (2), como placa plana (3), tiene alguna influencia en el factor de esbeltez.
Se puede demostrar fácilmente que el centro de gravedad / punto medio del triángulo en los tres casos es el mismo: $\mu_x = (x_1+x_2+x_3)/3 \; ; \; \mu_y = (y_1+y_2+y_3)/3$ . Ahora se definen las siguientes cantidades, donde se observa que las dos últimas se pueden derivar de la primera: $$ s_{xy} = (x_1-x_2)(y_1-y_2)+(x_2-x_3)(y_2-y_3)+(x_3-x_1)(y_3-y_1) \\ s_{xx} = (x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_1)^2 \quad ; \quad s_{yy} = (y_1-y_2)^2+(y_2-y_3)^2+(y_3-y_1)^2 $$ Entonces los momentos de inercia / varianzas de segundo orden en el caso de los vértices se pueden reescribir como
$\sigma_{xx} = s_{xx}/9$ , $\sigma_{yy} = s_{yy}/9$ , $\sigma_{xy} = x_{xy}/9$ .
Compárese con las cantidades del caso de la placa plana en el mencionado papel . Luego resulta que las fórmulas son muy similar :
$\sigma_{xx} = s_{xx}/36$ , $\sigma_{yy} = s_{yy}/36$ , $\sigma_{xy} = s_{xy}/36$ .
Lo que significa que la elipse en el caso del vértice es mayor que la elipse en el caso de la placa plana, el doble de grande para ser exactos, porque $\sqrt{36/9}=2$ . En el caso de la placa de la placa, obtenemos el Steiner Inellipse y en el caso de los vértices, obtenemos el Steiner Outellipse . Para el factor de delgadez, esto no supone ninguna diferencia .

EDITAR. Caso de tres varillas. Si estoy en lo cierto con mi proporción calculada $3:6:12$ (en lugar de la de Matt $3:8:12$ ) entonces tenemos la siguiente imagen para el $\color{green}{vertex}$ caso, el $\color{blue}{rods}$ caso y el plano $\color{red}{plate}$ caso.
Conclusión: El factor de delgadez en los tres casos es el mismo .

Coordinar la independencia. La fórmula del Rastro puede reescribirse como sigue: $$ \mbox{Tr} \sim (s_{xx}+s_{yy})/2 = (a^2+b^2+c^2)/2 $$ Donde $a,b,c$ son las longitudes de las aristas del triángulo, como es habitual. Se conjetura que el determinante es proporcional al cuadrado del área del del triángulo. Se invoca a MAPLE para confirmarlo:

A := simplify(s\_xx_s\_yy-s\_xy^2);
B := simplify(((x\_2-x\_1)_(y\_3-y\_1)-(x\_3-x\_1)\*(y\_2-y\_1))^2);
verify(A,3\*B,equal);
                           _true_
Por lo tanto: $$ \\mbox{Det} \\sim (s\_{xx}s\_{yy}-s\_{xy}^2) = 3(2A)^2 = 12 A^2 $$ Donde $A$ denota el Área del triángulo.

Citando un comentario: No veo, ¿dónde están los ángulos del triángulo en esta fórmula?
Con La fórmula de Heron para la zona $A$ y algo de álgebra encontramos con lo anterior: $$ \lambda_{\pm} \sim \frac{a^2+b^2+c^2}{2} \pm \sqrt{a^4+b^4+c^4-(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)} $$ El regla del seno dice que, con una misma constante de proporcionalidad $K$ : $$ a = K\sin(\alpha) \quad ; \quad b = K\sin(\beta) \quad ; \quad c = K\sin(\gamma) $$ Ya que en la (raíz cuadrada de) el cociente $\;\lambda_{+}/\lambda_{-}\;$ cualquier constante de proporcionalidad desaparece, es posible encontrar una fórmula más "cerrada" para el factor de esbeltez basado en Steiner, sólo en función de los ángulos : simplemente sustituye $\;a,b,c\;$ por el correspondiente $\;\sin(\alpha),\sin(\beta),\sin(\gamma)$ .

Answer 4

En un triángulo dado sólo puede superscribirse una circunferencia (es decir, sólo puede pasar una circunferencia por los vértices de un triángulo) y sólo puede inscribirse una circunferencia en un triángulo dado . Si R1 y R2 son los radios de los dos círculos, inscrito y sobrescrito, respectivamente, entonces el factor de esbeltez será igual a R2/R1................................. Cuando se inscribe (o sobrescribe) un cuadrado en un triángulo, puede haber muchos cuadrados que pueden inscribirse (o sobrescribirse) en un triángulo o estar contenidos en él, por lo que el concepto de cuadrados inscritos y sobrescritos no puede utilizarse para definir la esbeltez de un triángulo, ya que no se obtiene un valor único.