Ecuación diferencial

Question

Supongamos que la Señora Lee es la compra de una casa nueva y tiene que pedir prestado a 150.000. Ella quiere un Hipoteca a 30 años y ella tiene dos opciones. Ella puede pedir prestado el dinero al 7% un año sin puntos, o ella puede pedir prestado el dinero en un 6,5% por año, con una carga de 3 puntos. (Un "punto" es un cargo de 1% de la cantidad del préstamo que el prestatario paga el prestamista al principio del préstamo. Por ejemplo, una hipoteca con 3 puntos, requiere La señora Lee a pagar 4,500 extra para obtener el préstamo.) Como una aproximación, se supone que el interés se capitaliza y los pagos se realizan de forma continua. Vamos

$$M(t) = \text{amount owed at time } t\ \left(\text{measured in years}\right)$$ $$r= \text{annual interest rate, and}$$ $$p= \text{annual payment}$$

A continuación, el modelo de la cantidad adeudada es

$$\frac{dM}{dt}=rM-p$$

P. ¿cuánto cuesta Ms Lee tiene que pagar en cada caso?

He tratado de resolver el DE, y tengo
$$M(t)=C_1e^{rt} + \frac{p}{r}$$

Ahora, ¿qué hacer?

Answer 1

Podemos trabajar con números concretos, o de desarrollar una fórmula general. Idealmente, usted debe hacer tanto, como un ejercicio y un parcial de verificación. Vamos a desarrollar una fórmula general. Voy a utilizar su notación, pero introducen dos nuevos símbolos. Deje $N$ ser el periodo de amortización, es decir, el número de años hasta que la hipoteca se paga. En nuestro caso, $N=30$. Deje $A$ ser la inicial de la cantidad adeudada. Sin "puntos", $A=150000$. Con $3$ puntos, ella necesita pedir prestado $150000/(1.03)$ para tener $150000$ es lo que queda después de pagar los puntos. La ecuación general para la cantidad adeudada es, como usted escribió, $$M(t)=C_1e^{rt}+\frac{p}{r}$$ Este es el general de la solución de la ecuación, pero es incompleta hasta que evaluar la constante de $C_1$. (Nota técnica: será, por supuesto, que $C_1$ es negativo, de lo contrario lo que debemos aumentaría rápidamente para siempre. Yo hubiera preferido que arreglar las cosas para que cualquier constante es positiva.)

Tenga en cuenta que$M(0)=A$$M(N)=0$. Obtenemos las dos ecuaciones $$A=C_1+\frac{p}{r}$$ $$0=C_1e^{rN} +\frac{p}{r}$$ Resta, para deshacerse de la $p/r$ plazo. Tenemos $$A=C_1(1-e^{rN})$$ Por lo $C_1=-\frac{A}{e^{rN}-1}$ y obtenemos la ecuación $$M(t)=\frac{p}{r} -\frac{A}{e^{rN}-1}e^{rt}$$

Ahora que tenemos toda la información sobre $M(t)$, debemos ser capaces de responder a cualquier pregunta. En particular, mediante la adopción de $t=N$, tenemos $$0=\frac{p}{r} -\frac{A}{e^{rN}-1}e^{rN}$$ Ahora podemos resolver para el pago $p$: $$p=rA\frac{e^{rN}}{e^{rN}-1}=\frac{rA}{1-e^{-rN}}$$ y encontrar fácilmente la $p$ cualquier $r$, $N$, y $A$.

Answer 2

Para calcular cuánto toma prestado con$3$ puntos, obtiene$0.97$ de la cantidad prestada, por lo que$M(0)=150,000/0.97$, que es ligeramente superior a$154,500$. Ahora, si incorpora$M(0)$ y$M(30)$ puede solucionar$C_1$ y$p$ y elegir la opción con$p$