He aquí un análisis heurístico uso de Cramér del modelo. TL;DR: la conjetura es probablemente falsa.
La espera máxima de la brecha en este modelo es \log^2n, así que supongo que estamos buscando justo después de encontrar un hueco. La probabilidad de que un número es primo esx=1/\log n, por lo que la probabilidad de que un determinado prime va a tener una diferencia de longitud de k+1x(1-x)^k. La probabilidad de que una determinada primer voluntad de no ser seguido por un registro de la brecha es así
1-(1-x)^{\log^2n}=1-\left((1-1/\log n)^{\log n}\right)^{\log n}\approx1-e^{-\log n}=1-1/n.
y la probabilidad de que un determinado prime será seguido por un registro de al menos k veces que el viejo se
(1-x)^{k\log^2n}\approx e^{-k\log n}=n^{-k}.
La combinación de los dos, la probabilidad de que la diferencia será superado por un factor de k o más es
\sum_{i=0}^\infty(1-1/n)^en^{-k}=\frac{n}{n^k}=\frac{1}{n^{k-1}}
y, por tanto, k=2 está justo en el límite: esperamos que registra el doble de la anterior récord infinitamente a menudo (ya \int1/n diverge), pero los registros deben ser 2.001 veces el récord anterior finitely a menudo.
Ahora bien, esto es realmente de tomar la heurística demasiado lejos. Cramér del modelo no es el estado de la técnica, y se ha demostrado que las predicciones incorrectas en el comportamiento de los números primos ([1], [2]). Pero la idea básica es que hay una fase de transición, probablemente alrededor de 2, a partir de las ratios que aparecen infinitamente a menudo a finitely a menudo (o nunca!).
Mejora
Una mejor versión permitiría el inicio de la brecha de ser distinta de \log^2n. Esta versión cruda es conservador, ya que una distribución de valores que haría más fácil para conseguir grandes factores entre los dos.
De hecho, si usted rehacer el cálculo suponiendo que el antiguo registro sólo se s\log^2 n, en espera de que las diferencias de tamaño de 1+1/s debe ocurrir infinitamente a menudo. Así que si usted piensa que un positivo proporción de tiempo que el más grande de primer gap por debajo de n0.99\log^2n, entonces usted debe obtener los registros superando el anterior por un factor de 2+1/99 infinitamente a menudo.
Notas Técnicas
Una mejora sería tomar pequeños en cuenta los factores (un pariente de la llamada W-trick). Es difícil predecir el efecto neto, pero en todo caso lo harían también los factores de mayor tamaño suceder más a menudo.
Un tema menor, es que mi análisis se utiliza 1/\log n como si se es constante. Pero lo interesante de la gama es el siguiente n primos después de n, por lo que basta con mirar hacia arriba para hablar n+n\log n que ha logaritmo acerca de \log n+\log\log n, que es menos de (1+\varepsilon)\log n cualquier \varepsilon>0 y lo suficientemente grande como n.
Conclusión
La conjetura es en un terreno inestable. Hay una buena razón para pensar en grandes proporciones de máxima lagunas suceden infinitamente a menudo. Por otro lado, mirando a la heurística de los que estamos hablando increíblemente grandes números antes de que este tipo de eventos. Cada uno de los eventos que estamos viendo es una nueva máxima primer hueco, y un 'éxito' en cualquier máxima primer brecha se ha asintótica probabilidad 0 de suceder, consiguiendo resultados positivos en la probabilidad de que sólo cuando se integran en un gran número de nuevos máxima primer lagunas. Pero sabemos que sólo un puñado de estos, por lo que es muy posible que nunca vamos a ver sólo una de estas megajumps.
Bibliografía
[1] János Pintz, Cramér vs Cramér. En Cramér del modelo probabilístico para los números primos, Func.. Aprox. Comentario. De matemáticas. 37 (2007), parte 2, pp 361-376.
[2] H. Maier, los números Primos en un breve intervalo de tiempo, Michigan Matemáticas. J. 32 (1985), pp 221-225.
