Coeficiente del coseno de Fourier y valor de la serie completa

Question

Estoy trabajando en una pregunta sencilla de Fourier de un texto introductorio de EDP de John Davis.

La pregunta comienza con un gráfico que puede reducirse a trozos: $$f(x) = \begin{cases} 1, &0 \leq x < 0.5 \\ 0, &0.5 \leq x \leq 1, \ -1 \leq x \leq -0.5\\ -1, &-0.5 < x < 0 \end{cases}$$

Preguntas:
(a) Hallar el valor de $a_{99}$ el 99º coeficiente del coseno de Fourier para $-3 < x < 3$
(b) Hallar el valor de la serie completa de Fourier en $x = 0, x = 1$ y también $x = -1$ .

He aquí mis intentos de solución hasta el momento:

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(a) El texto prevé esta fórmula para $a_n$ ,

$$a_n = \frac {2}{l} \int_{0}^{l} f(x) \cos (\frac{n \pi x}{l}) dx.$$

Después de asignar $f(x) = \pm 1$ es decir, ignorando la $f(x) = 0$ de la a trozos, poniendo $l = 3, n = 99$ y $f(x) = \pm 1$ Obtengo la respuesta $a_{99} = \pm 3.7463 x 10^{-12}$ de la calculadora gráfica TI-84. ¿Estoy en lo cierto, especialmente en la asignación de $f(x) = \pm 1$ ?

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(b) Aquí estoy totalmente perdido excepto conseguir estas fórmulas largas de texto, y cualquier ayuda sería muy apreciada:

$$\begin{align} f(x) &= \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos (\frac{n \pi x}{l}) + b_n \sin(\frac{n \pi x}{l})].\\ a_n &= \frac{1}{l} \int_{-l}^{l}f(x) \cos (\frac{n \pi x}{l}) dx,\\ b_n &= \frac{1}{l} \int_{-l}^{l}f(x) \sin (\frac{n \pi x}{l}) dx, {}\end{align}$$

Muchas gracias por su tiempo y su ayuda.

Answer 1

Su función es una función impar, por lo que simplemente tenemos $a_n=0$ .

Utilizando teoremas estándar sobre la Convergencia puntual de las series de Fourier tenemos que la serie de Fourier de $f(x)$ es igual a cero tanto en $x=0$ y en $x=\pm 1$ (¡incluso sin computarlo!).