¿Cuáles son algunos ejemplos de espacios vectoriales que no están calificados?

Question

De wikipedia: un espacio vectorial $V$ es calificado si se descompone en suma directa de $ \oplus_{n \geq 0} V_n$ de los espacios vectoriales $V_n$.

Por lo que tengo entendido las cosas, cualquier vector en el espacio con una contables base es gradual: Vamos a $V$ ser un espacio vectorial sobre un campo $k$ con base $\{v_n\}_{n\in\mathbb{N}}$,$V = \oplus_{n\geq 0} k\cdot v_n$. Entonces la única espacios vectoriales que puedo pensar que no son , obviamente, graduales son cosas como $C(X)$, el espacio de funciones continuas en algunos colector $X$

Es esto correcto? ¿hay alguna más? o yo no entiendo algo?

Gracias

Answer 1

La gradación no es una propiedad de un espacio vectorial: es extra estructura conectada a un espacio vectorial, de la misma manera que una multiplicación es un extra de la estructura que se puede adjuntar a un conjunto para hacer un grupo. Así que esto es un poco como preguntar "¿cuáles son algunos ejemplos de conjuntos que no son los grupos?" (Como resulta que, cada conjunto puede ser equipado con una estructura de grupo, y esto es equivalente al axioma de elección. Pero esto es la falta de el punto).

Cada espacio vectorial admite un trivial de clasificación en el que $V_0 = V$ $V_n = 0$ todos los $n \ge 1$. Pero con frecuencia encontramos espacios vectoriales (como el espacio de polinomios) con los naturales de la clasificación, que generalmente son triviales, y tomar ventaja de este extra estructura es útil en varias maneras.