Complejo integral con el conjugado como un exponente

Question

¿Cuál es la integral de $$\int_{\Gamma}\pi e^{\pi\bar{z}}dz$$ where $\Gamma$ is the square with vertices at $0,1,1+i,i$ orientada en el sentido contrario?

Estoy mal estancado en este problema. He pensado en usar el teorema de los Residuos mediante el uso de $\bar{z}=\frac{|z|^2}{z}$, pero tenemos una singularidad esencial. El uso de la serie de Laurent alrededor de cero, llego $a_{-1}=\pi|z|^2$. Es esto correcto? ¿cómo debemos proceder? Cualquier sugerencias. Gracias de antemano.

Answer 1

Además de José Carlos Santos respuesta, también podemos utilizar el Verde del teorema:

\begin{align*} \int_{\gamma} \pi e^{\pi \bar{z}} \, dz &= \int_{\gamma} \left( \pi e^{\pi \bar{z}} \, dx + i\pi e^{\pi \bar{z}} \, dy \right) \\ &= \int_{[0,1]^2} \left( \frac{\partial}{\partial x} i\pi e^{\pi \bar{z}} - \frac{\partial}{\partial y} \pi e^{\pi \bar{z}}\right) \, dxdy \\ &= 2\pi^2 i \int_{[0,1]^2} e^{\pi x}e^{-i\pi y} \, dxdy \\ &= 4(e^{\pi} - 1). \end{align*}

Answer 2

Usted no puede usar el teorema de los residuos en un no-analítica de la función!

Su integral puede ser naturalmente roto en cuatro trozos. Uno de ellos es$$\int_\gamma\pi e^{\pi\overline z}\,\mathrm dz,\tag{1}$$with $\gamma\colon[0,1]\longrightarrow\mathbb C$ defined by $\gamma(t)=t$. But then $(1)$ is equal to$$\int_0^1\pi e^{\pi\overline{\gamma(t)}}\gamma'(t)\,\mathrm dt=\int_0^1\pi e^{\pi t}\,\mathrm dt=\left[e^{\pi t}\right]_{t=0}^{t=1}=e^{\pi}-e^0=e^{\pi}-1$$se Puede calcular las tres integrales?

Answer 3

Sugerencia. Tenga en cuenta que si $\gamma$ es un segmento de $P$ $Q$ $\gamma(t)=P+(Q-P)t$ $t\in [0,1]$ y $$\int_{\gamma}\pi e^{\pi\overline{z}}dz=\int_{t=0}^1\pi e^{\pi(\overline{P}+(\overline{Q}-\overline{P})t)}(Q-P)dt=\frac{Q-P}{\overline{Q}-\overline{P}}[e^{\pi(\overline{P}+(\overline{Q}-\bar{P})t)}]_0^1=\frac{(Q-P)(e^{\pi \overline{Q}}-e^{\pi \overline{P}})}{\overline{Q-P}}.$$