¿Qué es un número natural?

Question

Según la página 25 del libro Un Primer Curso en Análisis Real, un conjunto inductivo es un conjunto de números reales tal que $0$ está en el conjunto y para cada número real $x$ en el conjunto, $x + 1$ también está en el conjunto y un número natural es un número real que todo conjunto inductivo contiene. El problema con esa definición es que es circular, porque los números reales se construyen a partir de los números naturales.

Answer 1

Podemos definir los números reales axiomáticamente como el único (hasta el isomorfismo) campo ordenado completo. En este contexto, $(\mathbb{R}, +, \cdot, \le)$ debe satisfacer las propiedades

1. $(\mathbb{R},+,\cdot)$ es un campo (es decir, ambas operaciones son conmutativas y asociativas, la multiplicación se distribuye sobre la suma, cada elemento tiene un inverso aditivo, y cada elemento no nulo tiene un inverso multiplicativo).

2. $(\mathbb{R},\le)$ es un conjunto totalmente ordenado (es decir, la relación $\le$ es reflexiva, transitiva y antisimétrica, y para cualquier $a, b\in\mathbb{R}$ con $a\ne b$, entonces exactamente uno de $a\le b$ o $b\le a$ se cumple).

3. El orden es compatible con la estructura de campo en el sentido de que $a \le b$ implica que $a+c \le b+c$ para todo $c$, y si $0 \le a, b$, entonces $0 \le a\cdot b$. (Podríamos en realidad deducir las propiedades de un orden a partir de estas propiedades más el axioma de comparabilidad anterior, pero personalmente me resulta más fácil abordarlo de esta manera).

4. $(\mathbb{R},+,\cdot,\le)$ es completo, en el sentido de que si un subconjunto no vacío de $\mathbb{R}$ tiene una cota superior, entonces tiene una cota superior menor.

5. En este contexto, probablemente tengamos que tomar la existencia de los números reales como un axioma (es decir, la existencia de al menos un campo totalmente ordenado), también (gracias por señalarlo, DRF). Alternativamente, vea el anexo.

Es un poco de trabajo demostrar que si $(X,+',\cdot',\le')$ satisface estos axiomas, entonces $X$ es isomorfo a $\mathbb{R}$, pero se puede hacer. En cualquier caso, podemos (y a menudo lo hacemos) definir los números reales axiomáticamente de esta manera.

Tenga en cuenta que no hay nada en lo anterior acerca de los números naturales, los números racionales, los cortes de Dedekind o la completitud de Cauchy. Los números reales se te entregan en bandeja de plata. A partir de esto, es posible definir los naturales de la manera descrita en la pregunta (más o menos).

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Anexo: Alternativamente, en lugar de declarar la existencia de los reales por decreto (punto 5, arriba), podríamos construirlos desde cero a través del proceso habitual (es decir, construir los enteros como clases de equivalencia de naturales, luego los racionales como clases de equivalencia de enteros, luego los reales como cortes de Dedekind). Esta construcción de los reales satisfará los axiomas anteriores.

A partir de esta construcción, defina un conjunto inductivo $S$ como cualquier subconjunto de $\mathbb{R}$ (donde un elemento de $\mathbb{R}$ es un corte de Dedekind, que es ...) con las propiedades de que

1. $0 \in S$, y
2. si $x\in S$, entonces $x+1\in S$.

Luego defina $N$ como la intersección de todos los conjuntos inductivos, es decir, $$ N = \bigcap_{\text{$S$ un conjunto inductivo}} S. $$ Este conjunto $N$ es un subconjunto de los números reales, y se comporta (en todos los sentidos significativos) como los números naturales: $N$ es isomorfo a $\mathbb{N}$. Entonces quizás sea razonable llamar a $N$ el conjunto de números naturales reales. Pero no me gusta tener dos conjuntos de números rondando llamados "números naturales", así que voy a ser perezoso y dejar caer la parte "real-", y simplemente decir que $N$ es el conjunto de números naturales. Probablemente también vaya a seguir adelante y componerlo como $\mathbb{N}$, y escribir cosas como $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{R}$.

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Dicho esto, esta definición "inductiva" de los números naturales proviene de un libro sobre análisis, no de teoría de conjuntos axiomática. El objetivo del libro es hacer análisis real (es decir, estudiar límites, diferenciación, integración, etc. en el contexto de funciones reales de números reales). Si tuvieras que empezar desde $\mathsf{ZFC}$ y construir tus sistemas numéricos a partir de ahí, nunca podrías llegar a los resultados reales del análisis en un número razonable de páginas. Tienes que construir una base en algún lugar. Como tal, partir de la suposición de que los reales existen es razonable, y extraer los naturales de los reales está bien.

Answer 2

Supongamos que comenzamos con alguna noción de "número natural" que usamos para construir un modelo de los números reales.

Entonces, incluso en este contexto, la definición citada no es realmente circular, porque está definiendo una nueva noción de "número natural" que en adelante se usará en lugar de la noción anterior de "número natural".

Podríamos darle un nombre diferente a la nueva noción, pero realmente no tiene sentido; la nueva versión de los "números naturales" tiene un isomorfismo obvio con la versión antigua, por lo que en realidad no es diferente de la antigua de ninguna manera esencial.

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Hay varias razones por las cuales una exposición de análisis real podría construir los números naturales a partir de los números reales; las dos más prominentes son:

• Es técnicamente conveniente que los números naturales sean un subconjunto de los números reales
• La exposición se vuelve algo más agnóstica en cuanto a sus fundamentos; simplemente necesita los números reales como punto de partida

Answer 3

Tienes que empezar en algún lugar.

Y en matemáticas, tienes que empezar desde algún axiomas.

Si decides empezar desde los axiomas para los números reales, entonces usando esos defines los números naturales exactamente como citaste, y usando esa definición puedes demostrar que los axiomas de Peano son verdaderos.

Si en cambio decides empezar desde los axiomas de Peano para los números naturales, entonces usando esos puedes definir los números reales, y usando esa definición puedes demostrar que los axiomas de los números reales son verdaderos.

Cualquiera de esos proporciona una respuesta a tu pregunta. Puede que no te guste esa respuesta, pero así son las cosas. Lo que no puedes hacer es evitar elegir tus axiomas.

Sin embargo, ¿quizás todavía hay una manera de romper este bucle vicioso?

Bueno, de hecho, sí, haciendo una elección diferente de axiomas. Puedes, en cambio, elegir los axiomas básicos de la teoría de conjuntos, también conocidos como los axiomas de Zermelo-Fraenkel o ZF en resumen.

Si decides empezar desde los axiomas de ZF, entonces usando esos puedes definir los números naturales usando la definición de Von Neumann. Usando esa definición, puedes entonces demostrar que los axiomas de Peano son verdaderos. Y luego, como ya se dijo, puedes usar los axiomas de Peano (que en este esquema ahora son teoremas en lugar de axiomas) para definir los números reales y usar esa definición para demostrar que los axiomas de los números reales son verdaderos.

Answer 4

Definir los números naturales (dentro de un isomorfismo) como un subconjunto distinguido de un campo ordenado completo (COF) parece matemáticamente elegante, pero es insatisfactorio en dos aspectos. Primero, la definición debería ir de lo simple a lo complejo y de lo elemental a lo avanzado, no al revés. Segundo, para que la definición de un COF, y por lo tanto del subconjunto distinguido, tenga sentido, se debe demostrar que (A) cualquier par de COFs son isomorfos y (B) un COF existe. Concedamos A (que no es exactamente trivial) y veamos B. La forma más simple de establecer B es construir $\Bbb R$ a partir de $\Bbb Q$ a través de cortes de Dedekind o clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy en $\Bbb Q$. Pero entonces, ¿qué es $\Bbb Q$? La forma más simple de definirlo es en términos de clases de equivalencia de pares de elementos de $\Bbb Z$. ¿Y $\Bbb Z$? Bueno, es solo un conjunto de clases de equivalencia de pares de elementos de $\Bbb N. Así que hemos llegado al punto de partida.

Ahora, es cierto que toda esta estructura de teoría de conjuntos es equipaje no deseado cuando nuestro objetivo es avanzar y hacer análisis real, en el cual quisiéramos tener simplemente $\Bbb N\subset\Bbb Z\subset\Bbb Q\subset\Bbb R\subset\Bbb C$ (la última solo por si acaso). Pero esto no es realmente un problema. Habiendo establecido la existencia de abajo hacia arriba, podemos identificar una copia isomorfa de cada estructura más básica dentro de cada una más abarcadora, y acordar de ahora en adelante usar estas copias (en $\Bbb C$, por ejemplo) en lugar de las originales, por conveniencia.

Answer 5

Editar: Debido a algunos de los comentarios, pensé en agregar más.

Podemos definir el conjunto de todos los números naturales para satisfacer los axiomas de la aritmética de Peano y luego, a partir de eso, podemos construir los números racionales y luego los números reales a partir de los cortes de Dedekind de los números racionales. Después de que el conjunto de todos los números reales se haya definido de esta manera, se puede demostrar que esta definición del conjunto de todos los números naturales describe el mismo conjunto que la otra definición del conjunto de todos los números naturales. Definir el conjunto de todos los números reales como un cuerpo totalmente ordenado y luego definir los números naturales a partir de él es insatisfactorio porque no prueba que exista un cuerpo totalmente ordenado. En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, probablemente se pueda demostrar que la construcción del conjunto de todos los números reales de la otra manera da lugar a un cuerpo totalmente ordenado y que cada cuerpo totalmente ordenado es isomorfo a ese.