¿Automorfismos de un módulo libre finitamente generado restringe a automorfismos en cada submódulo invariante?

Question

Que $R$ ser un anillo (conmutativo) (con 1) y $M$ un libre y finitamente generados $R$-módulo. Que $\gamma$ sea un automorfismo de módulo $R$ $M$. ¿Si $N\subset M$ es un submódulo invariante bajo $\gamma$, entonces es $\gamma|_N$ un automorphism de $N$?

¿Si esto es falso, hay razonables condiciones bajo las cuales sería cierto? (p. ej., $R$ noetheriano... etcetera?)

Answer 1

Si $R$ es noetheriano, esto es cierto. Observe que $\gamma(N)\subset N$ implica $N\subset \gamma^{-1} N$. Así, obtenemos una cadena $N\subset\gamma^{-1} N\subset \gamma^{-2} N\subset\cdots$ y por hipótesis noetheriano, tenemos $\gamma^{-n}(N)=\gamma^{-n-1}(N)$ $n$ y entonces es fácil ver que $N=\gamma(N)$, demostrando lo que usted necesita.