Demostrando el ímpetu angular se conserva para una partícula moviéndose en un campo de fuerza central $\vec F =\phi(r) \vec r$

Question

Un problema estoy tratando de averiguar es como sigue:

Una partícula se mueve en un campo de fuerza dado por $\vec F =\phi(r) \vec r$. Demostrar que el momento angular de la partícula respecto al origen es constante.

Lo configuro de la siguiente manera:

$\vec F = m {d^2\vec r \over dt^2}$

$\vec v = \int {\frac {\vec F}{m} }\ dt = \int {\frac {\phi(r) \vec r}{m} }\ dt$

que es igual a :

${\frac {\phi(r) t \vec r}{m} } + c$

(No estoy seguro de lo que estoy haciendo en este momento. Es mi expresión integrada correcto?)

Suponiendo que es, obtenemos:

El Momento Angular De $L = m (\vec r \times \vec v) = \vec r \times (\phi(r) t \vec r + c)$

Ahora no sé qué hacer con el término constante, pero sí sé que

$\vec r \times k\vec r = 0$

Sin embargo, el problema de los estados que tenemos para demostrar que el resultado es una constante, por lo que creo que estoy equivocado. Lugares específicos donde alguien me podría ayudar son:

(1) Es mi integración correcta? Si no, ¿cómo hace uno para integrar una fuerza (en términos del vector de posición de la notación) w.r.t. tiempo?

(2) ¿Qué sucede con el constante? Producto de un vector y un escalar no tiene ningún sentido.

Answer 1

Desde $ F = \phi(r) \vec r $, puede encontrar el esfuerzo de torsión alrededor del origen.

Par $ \tau = \vec F \times \vec r = \phi (r) \vec r \times \vec r$

Pero $\vec r \times \vec r$ es cero, por lo que el esfuerzo de torsión alrededor del origen es también cero.

Esfuerzo de torsión es a tasa de cambio del momento angular $\frac{ d\vec L}{dt}$, el ímpetu angular no cambia, que es lo que quería demostrar.

Answer 2

Si quieres demostrar que $\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$ es constante con respecto al tiempo para una partícula en un campo de fuerza central $\vec F = \phi(r) \vec r$, sólo muestran que el momento angular no cambia con el tiempo, es decir,$\frac{d}{dt}\vec{L}=0$.

Utilizando la regla del producto se obtienen dos términos:

$\frac{d}{dt}\vec{L}=\frac{d}{dt}(\vec{r}\times \vec{p}) = \frac{d\vec r}{dt} \times \vec p + \vec r \times \frac{d \vec p}{dt}$.

Desde $\vec p = m \frac{d \vec r}{dt}$ $\frac{d \vec r}{dt}$ son, obviamente, en paralelo, el primer término se desvanece. En el caso especial de una fuerza central $\vec F = \phi(r) \vec r$ el segundo término se desvanece demasiado: Tenemos $\frac{d\vec p}{dt} = \vec F \propto \vec r$, por lo que los dos vectores en el segundo término son paralelas, causando la cruz del producto a ser cero.

Por lo tanto, $\frac{d}{dt}\vec{L}=0$ $\vec{L}$ es una constante con respecto al tiempo.

Para responder a tus preguntas:

(1) No, no se puede integrar como eso. La posición de la partícula $\vec r$ cambios con el tiempo, por lo que no se puede tratar como una constante en su integración. Si quieres resolver esta integral, resolver las ecuaciones de movimiento $\frac{d \vec p}{dt} = \vec F$ primera.

(2) Si su integración habría sido correcta (por ejemplo, si la posición de la partícula fueron constantes), la integración constante habría sido un vector. A continuación, el producto cruzado tendría sentido otra vez.

Answer 3

Se puede hacer esa integral porque esperamos $\vec{r}$ cambian con el tiempo. Si el potencial es central, entonces sólo depende de la norma del vector del radio, pero por supuesto esto puede cambiar. Sin embargo, en su integral es mezclar números y vectores, $\vec{c}$ en cualquier caso es un vector.

Edit: entendido mal la pregunta, la respuesta anterior es buena