Probar que una secuencia convergente tiene un mínimo, máximo o ambos.

Question

Deje $a_n$ ser una secuencia convergente. Demostrar $a_n$ tiene un mínimo, un máximo o ambos.

Estoy siendo preparado para un examen final, por lo que es importante para mí saber que $I$ estoy en lo correcto en $my$ intento. Por supuesto, si estoy completamente equivocado, sugerencias o solución son bienvenidos. Gracias.

$Attempt$: $a_n$ converge a un límite de $L\in \Bbb{R}$$n\to \infty$. Por lo tanto, para $\epsilon=1$ somos, lo suficientemente grande como para $N$ que $\forall n\ge N,$ $|a_n-L|<1$ $\Rightarrow$ $L-1 \le a_n\le L+1$, en particular,$a_n\le L+1$. Por lo tanto, para $M=max(a_1,a_2,...,a_N,L+1)$, $a_n\le M$ necesariamente. yo.e, $a_n$ es superior acotada. El mismo puede ser mostrado con el límite inferior. Si $a_n$ es constante, hemos terminado. De lo contrario, el inferior y el superior, los límites son diferentes. Supongamos $a_n$ no tiene mínimo ni máximo, límite inferior y superior son de acumulación, de punto, una contradicción. Por lo tanto, $a_n$ tiene un máximo o un mínimo en ese caso.

Answer 1

Utilizamos la notación de la OP. El resultado es claro si todos los $a_k$ son igual al límite $L$. Así, podemos suponer algunos $k_0$ tenemos $a_{k_0}\ne L$. Para la simplicidad que $a_{k_0}=c$. Por simetría podemos suponer que $c\gt L$.

Por la definición de límite, hay un índice $N$ tal que $|a_n-L|\lt c-L$el % si $n\gt N$. En particular, $a_n\lt c$ $n\gt N$.

El conjunto (multi) $\{a_1,a_2,\dots,a_N\}$ tiene un % máximo $b$y $b\ge a_k$ % todos $k$.

Answer 2

Deje $(a_n)_n$ un valor real convergente de la secuencia. Como se demostró, esta secuencia es acotado, por lo que el $m = \inf\{a_n\;|\;n\in\mathbf{N}\}$ $M = \sup\{a_n\;|\;n\in\mathbf{N}\}$ no existen en $\mathbf{R}$.

Queremos mostrar que existe una $n\in\mathbf{N}$ tal que cualquiera de las $a_n = m$ o $a_n = M$. Si $m=M$ todo es claro, por lo que podemos suponer $m<M$.

Suponer lo contrario : $\forall n\in\mathbf{N}, a_n \not= m$$a_n \not= M$, es decir, $\forall n\in\mathbf{N}, a_n > m$ $a_n < M$ , por definición de $m$$M$. Recordar lo que una sup (resp. inf) $m$ (resp. $M$) de un no vacío $X$ delimitada desde arriba (resp. delimitada desde abajo). Es la única $m$ (resp $M$) tal que $\forall \varepsilon > 0$, existe una $x\in X$ tal que $M-\varepsilon \leq x$ (resp. $x \leq m+\varepsilon$.) Vamos a aplicar este con $X = \{a_n\;|\;n\in\mathbf{N}\}$. Para $n = 0$, hay un $k_0$ (resp $l_0$) tal que $M - 2^{-0} \leq u_{k_0} < M$ (resp. $m + 2^{-0} \geq l_{k_0} > m$.) Ahora hay un $k_1$ (resp $l_1$) estrictamente mayor que $k_0$ (resp $l_0$) tal que $\max(M - 2^{-1} , u_{k_0}) < u_{k_1} < M$ (resp. $\min(m + 2^{-1} , u_{l_0}) > u_{l_1} > m$.) (Como sabemos por las anteriores desigualdades que la mayoría de la mano derecha plazo es $< M$ (resp. ($>m$.)

Iterando este proceso, somos capaces de construir una estrictamente creciente secuencia $(k_n)_n$ (resp< $(l_n)_n$) de tal manera que la secuencia de $(a_{k_n})_n$ (resp. $(a_{l_n})_n$) es estrictamente incresasing (resp. decreciente) y tal que $\forall n \in\mathbf{N}, a_{k_n} \in ]M-1/2^n, M[$ (resp. $a_{l_n} \in ]m+1/2^n,m[$. Por lo tanto, $(a_{k_n})_n$ converge a$m$$(a_{l_n})_n$$M$, mostrando que el $m=M=\lambda$ donde $\lambda$ es el límite de $(a_n)_n$, como cada subsequence de una secuencia convergente converge al mismo límite que el de la secuencia convergente. Esta es una contradicción, como se ha supuesto que el $m<M$. Esto demuestra que, en cualquier caso, existe una $n\in\mathbf{N}$ tal que cualquiera de las $a_n = m$ o $a_n = M$.

Como usted puede notar, usted realmente no necesita nuestros dos subsecuencias dos ser estrictamente monótona, por lo que sabiendo que $m$ $M$ son de acumulación de puntos de $X$ no es necesario. Lo único que se necesita es que los $m$ $M$ son adherentes a $X$.