Los teoremas de incompletitud de Gödel fueron un gran logro con ramificaciones fuera del campo de las matemáticas. ¿Existe alguna aplicación directa del (de los) teorema(s), o de alguno de los métodos que se emplearon en la demostración, fuera del campo de la lógica, pero dentro de las propias matemáticas? Por ejemplo, en la teoría de categorías.
Respuesta
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Para aplicar los teoremas de incompletitud de Gödel hay que trabajar con teorías formales. Tanto si hay como si no hay matemáticas aplicaciones fuera de la lógica depende de cómo se trace el límite de la lógica, como subcampo de las matemáticas.
Por ejemplo, considere el Teorema de París-Harrington que muestra que un cierto enunciado de la teoría de Ramsey, formulable en el lenguaje de la aritmética, implica la consistencia de la aritmética de Peano (PA). La sentencia Paris-Harrington es un enunciado combinatorio natural que, por el segundo teorema de incompletitud de Gödel, no es demostrable en nuestro sistema habitual de aritmética de primer orden.
Hay varias moralejas que se pueden extraer de este teorema, pero la que quiero destacar aquí es la siguiente: hay proposiciones de la teoría de los números que van más allá de nuestros axiomas habituales para la aritmética, y de las que debemos dar cuenta. Si sostenemos que el enunciado de Paris-Harrington es verdadero, entonces estamos comprometidos con axiomas matemáticos más fuertes que PA; por ejemplo, podríamos querer afirmar que podemos realizar la inducción hasta $\varepsilon_0$ y no sólo $\omega$ (ya que esta es la forma habitual de demostrar la consistencia de PA).
De hecho, un uso común del segundo teorema de incompletitud es trazar los límites de la demostrabilidad dentro de ciertos sistemas formales. Por ejemplo, sabemos que no podemos demostrar una versión de la Teorema de reflexión de Montague-Levy para conjuntos infinitos y no finitos de oraciones, porque si pudiéramos entonces uno de los conjuntos infinitos de oraciones que podríamos reflejar serían los axiomas de la propia ZFC. Así habríamos demostrado en ZFC que ZFC tiene un modelo, demostrando Con(ZFC) y contradiciendo el segundo teorema de incompletitud. Esto también nos da el siguiente corolario: ZFC no es finitamente axiomatizable .
Supongamos para una contradicción que existe algún conjunto finito de sentencias $\Phi$ tal que para cada fórmula $\varphi$ en $\mathcal{L}_\in$ , $\Phi \vdash \varphi \Leftrightarrow \mathrm{ZFC} \vdash \varphi$ . Por supuesto, esto significa que cada axioma $\psi \in \Phi$ es un teorema de ZFC. Así que por el teorema de la reflexión, hay algún $V_\alpha$ tal que $V_\alpha \models \Phi$ . Pero por nuestra suposición tal modelo será también un modelo de ZFC, por lo que Con(ZFC), contradiciendo el segundo teorema de incompletitud.
De nuevo, ¿se trata de una aplicación dentro de la lógica? Si la teoría de conjuntos forma parte de la lógica, sí. Pero las aplicaciones directas de los resultados de Gödel sólo aparecerán cuando tratemos con sistemas formales, así que si decimos que siempre que lo hacemos estamos trabajando dentro de la lógica, entonces por definición no serán aplicables fuera de ella. La única razón por la que no aparece más a menudo -o de forma más obvia- en las matemáticas es que muchos resultados se demuestran en áreas que emplean en el fondo sistemas como ZFC, que son mucho más fuertes de lo que necesitan, y que los matemáticos no suelen ser cuidadosos a la hora de estipular con precisión qué recursos (es decir, axiomas) utilizan. hacer Asumir.
