Explicación intuitiva de $\Pr(X_1 < X_2 \mid \max(X_1, X_2, X_3) = X_3)$ donde $X_1, X_2, X_3$ son exponenciales

Question

Sea $X_1, X_2, X_3$ variables aleatorias exponenciales con tasa $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$. Contamos con los siguientes

$$\Pr(X_1 < X_2 \mid \max(X_1, X_2, X_3) = X_3) = \frac{\lambda_1 + \lambda_3}{\lambda_1 + \lambda_2 + 2 \lambda_3}$$

Que encontré por considerar $f(1, 2, 3) = \Pr(X_1 < X_2 < X_3)$ y notar que lo anterior es igual a $\frac{f(1, 2, 3)}{f(1, 2, 3) + f(2, 1, 3)}$. Sin embargo, ¿qué es una explicación más intuitiva de este resultado? Parece que la probabilidad de que $Y_1 < Y_2$, si es exponencial con tasa $Y_1$ $\lambda_1 + \lambda_3$ $Y_2$ es exponencial con tasa $\lambda_2 + \lambda_3$.

Answer 1

Tenemos que

$$\Pr[X_1 < X_2 \mid \max(X_1, X_2, X_3) = X_3] =\frac{\Pr[X_1 < X_2 , \max(X_1, X_2, X_3) = X_3]}{\Pr[\max(X_1, X_2, X_3) = X_3]}$$

$$=\frac{\Pr[X_1 < X_2 < X_3]}{\Pr[X_1<X_3, X_2<X_3) ]}$$

$$=\frac{\Pr[X_1 < X_2 < X_3]}{\Pr[X_1<X_2<X_3]+\Pr[X_2<X_1<X_3]} \quad(1)$$

Esto se ve "intuitivo": dado $X_3$ es el más grande, nos quedamos con las otras dos opciones (que aparecen en el denominador) y tenemos el que nos interesa en el numerador. Como para el cálculo,

Vamos

$$f_i(x_i) = \lambda_ie^{-\lambda_ix_i},\;\;\; i=1,2,3$$

Entonces, asumiendo que las tres variables son independientes,

$$\Pr[X_1 < X_2 < X_3] = \int_0^{\infty}f_3(x_3)\int_0^{x_3}f_2(t)\int_0^{t}f_1(s)ds\,dt\,dx_3$$

etc, y observando que la función de distribución puede ser escrito $F_i = 1- \frac 1{\lambda_i}f_i$. Una rápida Monte Carlo, se comprueba que el cálculo de la probabilidad por el OP es correcta.

Por otra parte, el OP señaló acertadamente que la probabilidad obtenida es igual a $\Pr(Y_{1|3} < Y_{2|3})$ si $Y_{1|3}$ es Exponencial con tasa de $\lambda_1 + \lambda_3$ $Y_{2|3}$ es Exponencial con tasa de $\lambda_2 + \lambda_3$.

Bueno, la siguiente es un resultado conocido para el yo.yo.d Exponenciales

$$\min\{X_1,X_3\} = Y_{1|3}, \min\{X_2,X_3\}=Y_{2|3}$$

Así que estamos mirando

$$\Pr [\min\{X_1,X_3\} < \min\{X_2,X_3\}] = \Pr[X_1 < X_2 \mid \max(X_1, X_2, X_3) = X_3]$$

...lo cual tiene sentido, si empezamos a reflexionar ¿qué opciones tiene el lado izquierdo permite.