Grupos de orden $25$

Question

Por favor verifique mi solución que hay sólo dos grupos de orden $25$ hasta isomorfismo.

$|G|$ Es un primo al cuadrado, entonces $G$ es abeliano. Puesto que el teorema de Abelian grupos, $G$ es un producto directo de grupos cíclicos. Las posibilidades sólo aquí, desde $25=5.5$, son $G = \mathbb{Z_{25}}$ o $G = \mathbb{Z_5} \times \mathbb{Z_5}$. Tenga en cuenta que no existe ningún elemento u orden $25$ en el último, por lo que no son isomorfos.

Answer 1

Su solución es correcta, aquí es una solución sin utilizar el teorema de estructura.

Prueba: Supongo que $G$ es cíclico entonces $G \cong \frac {\mathbb Z}{25 \mathbb Z}$. Por lo tanto asumir que $G$ no es cíclico y $G$ es abelian (como usted ha mencionado en su solución). Ahora nota que tenemos una acción de grupo $\frac {\mathbb Z}{5 \mathbb Z} \times G \to G$ define como $(a,g) \to g^a$ (demuestras que su realidad una acción de grupo!). Por lo tanto, $G$ es un espacio vectorial de dimensión $2$ $\frac {\mathbb Z}{5 \mathbb Z}$, por lo tanto isomorfo a $\frac {\mathbb Z}{5 \mathbb Z} \times \frac {\mathbb Z}{5 \mathbb Z}$. QED