Probar $(A^T)^{-1}$ = $(A^{-1})^T$

Question

Probar $(A^T)^{-1}$ = $(A^{-1})^T$ para cualquier matriz invertible "Un".

En realidad yo no sé por dónde empezar - no creo que sólo puede aplicar el índice de leyes.

Cualquier ayuda es genial! Gracias.

Answer 1

Trate de tomar la transposición de la ecuación $$AA^{-1}=I.$$

Answer 2

primero definimos una "B" de la matriz como la siguiente : $$B = (A^{-1})$$ así : $$B^T=(A^{-1})^T *$$ y podemos escribir : $$AB = I$$ entonces $$(AB)^T=I^T \textrm{ y } B^T^T =I$$ A partir de esta ecuación podemos decir que : $$B^T=(A^T)^{-1}$$ y finalmente, a partir de * podemos escribir :
$$B^T=(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$$