Me pregunto si la segunda countability es invariante bajo homotopy de equivalencia. Si tuviera que adivinar, yo diría que sí. Intuitivamente, si tenemos una contables base de un espacio y, a continuación, estirar, contrato, curvar el espacio, no veo cómo podríamos conseguir un incontable base de este. Sin embargo, me han fallado en demostrar formalmente y me gustaría saber si es cierto en absoluto. Si es así, ¿por qué?
Respuestas
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notpeter
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De hecho, no lo es. La intuición acerca de stretchings y curvado no es de mucho uso para la reflexión sobre las bases de una topología, simplemente porque homotopies no tiene que preservar la distinción de los bloques abiertos. Por ejemplo, observe que para cualquier conjunto a $I$, la cuña $X=\vee_{i\in I} [0,1]_i$ $I$ copias de la unidad de intervalo (los intervalos se pegan y se $0$) es contráctiles, a través de la obvia homotopy $[0,1]_i\ni x_i\mapsto tx_i$. Sin embargo, si $I$ es incontable, $X$ ciertamente no puede ser de segunda contables, como por ejemplo mediante la eliminación de la cuña punto vemos que contiene un subespacio homeomórficos a un incontable discontinuo de la unión de copias de $(0,1]$.
Tomar cualquier espacio de $X$ que no es segundo contable y considerar el cono $CX=(X\times [0,1])/{\sim}$ donde $(x,0)\sim (x',0)$ todos los $x,x'\in X$. El espacio de $CX$ no es segundo contable, debido a que $X$ no es, sino $CX$ es contráctiles a través de una deformación de retracción en el cono punto' $X\times\{0\}$.
