Encontrar un poder de expansión de la serie de $\frac{1}{z}$ $z = 1 + i.$

Question

Encontrar un poder de expansión de la serie de $\frac{1}{z}$ $z = 1 + i.$

Mi Solución

Para cualquier complejo $\alpha$,$\frac{1}{z}=\frac{1}{\alpha+z-\alpha}=\frac{1}{\alpha[1+\frac{z-\alpha}{\alpha}]}$ $=\frac{1}{\alpha}[1-\frac{z-\alpha}{\alpha}$$+\frac{(z-\alpha)^{2}}{\alpha^{2}}]-+...]$

$\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k}(z-\alpha)^{k}}{\alpha^{k+1}}$ y, a continuación, $\alpha=1+i$

¿Alguien me puede ayudar a mejorar?

Answer 1

Cuando uno define una potencia de la serie, también es necesario definir cuál es el dominio de convergencia. Es básicamente similar a la hora de definir una función: tenemos que definir un dominio. Desea expresar la función

$$f(z)=\frac 1 z $$

como una potencia de la serie en torno a $z=i+1$. Usted hábilmente ahora que la función

$$ g(z)=\frac{1}{z-a}$$

puede ser ampliada como

$$ g(z)=\frac{1}{z-a} =-\frac 1 a\frac{1}{1-z/a} =-\frac 1 a \sum_{n=0}^\infty \left(\frac z a \right)^n$$

Pero cuando se esta representación legítima? Si sustituimos cualquier $z$ tal que $|z|>a$, nos vamos a encontrar a nosotros mismos con una divergente la serie. Así que, lo que realmente debería escribir es

$$ g(z)=-\frac 1 a \sum_{n=0}^\infty \left(\frac z a \right)^n\text{ ; }\color{red}{ |z|<a}$$

Tenga en cuenta que no puede ser el caso de que $a=0$.

De pasar a su problema. Tenemos que,

$$f(z)=\frac 1 z =\frac 1 {z-a+a}=-\frac 1 a \frac 1 {1-\frac {z+a}{a}}$$ así que de nuevo tenemos que escribir

$$f(z)=-\frac 1 a \frac 1 {1-\frac {z+a}{a}}=-\frac 1 a \sum_{n=0}^\infty \left(\frac {z+a}{a} \right)^n$$

Tenga en cuenta que de nuevo esto no puede ser el caso de que $a=0$. Y al igual, tenemos que

$$|z+a|<|a|$$ de la serie converge. Así que nuestro dominio de convergencia será

$$\Bbb D = \{ z \in \Bbb C : |z+a|<|a|\}$$

En este caso queremos que se expanda alrededor de $z=i+1$, por lo que elegimos $a=-(i+1)$, lo que da

$$f(z)=\frac 1 {i+1} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left(\frac {z-(i+1)}{i+1} \right)^n$$

$$\frac 1 {i+1}=\frac {1-i}{2}$$

así que podemos escribir esto como

$$f(z)=\frac {1-i}{2} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left(\frac {1-i}{2}\right)^n \left( z-(i+1) \right)^n$$

Como paso final, nos encontramos con lo $\Bbb D$ debe ser.

$$|z-(i+1)|<|i+1|$$

$$|z-(i+1)|< \sqrt 2$$

Así que la serie puede ser usado en $\Bbb D$, un disco de radio $\sqrt 2$ y al centro en $z=i+1$.