Intersección de hiperplanos

Question

Tenemos dos vectores, $x = (1,4, -1)$ y $y = (-1,0,1)$ en $ \mathbb {R}^3$ . Tenemos los siguientes hiperplanos:

• $P_1 = \{ v \in \mathbb {R}^3 : \langle x, v \rangle =2\} $

• $P_2 = \{ v \in \mathbb {R}^3 : \langle y, v \rangle =0\} $

Mostrar la intersección de estos hiperplanos es una línea.

Así que creo que $P_1$ y $P_2$ son $x_1 + 4x_2 - x_3 = 2$ y $x_1 = x_3$ respectivamente. Así que para encontrar la intersección se rellena $x_1 = x_3$ en $P_1$ y te quedas con $x_2= \dfrac {1}{2}$ que es una línea.

Así que ahora mi pregunta:

• ¿Es una respuesta satisfactoria a la pregunta?

• ¿Qué relación tiene $x$ tienen con $P_1$ (algebraica o geométricamente), o $y$ con $P_2$ ? Parece como si tomaras las coordenadas del vector y luego las multiplicaras con la variable correspondiente.

Answer 1

Creo que es mejor escribir explícitamente la ecuación de la recta en forma vectorial: $ \vec x=t \vec u + \vec x_0$ . En su caso, ha encontrado eso:

$x_1=x_3=t$ y $x_2=\dfrac{1}{2}$ , por lo que podemos escribir la ecuación: $$ \vec x=t(1,0,1)^T+(0,1/2,0)^T $$

Answer 2

Sólo responderé a tu segunda pregunta (la respuesta a la primera es "tiene buena pinta"). Usted tiene ese $y$ es un vector fijo, y $P_{2} = y^{\perp}$ (donde $\perp$ representa el complemento ortogonal). La relación de $x$ a $P_{1}$ es un poco menos claro, debido a la $2$ . Pero puedes ver que $P_{1}$ es una traducción de $x^{\perp}$ , a saber $P_{1} = x^{\perp} + (2,0,0)$ (nota que $x$ no está en $P_{1}$ porque $\langle x, x \rangle = 16$ ). Estos comentarios significan que $x$ y $y$ son vectores perpendiculares a los planos $P_{1}$ y $P_{2}$ respectivamente.