Encontrar todos los $n>1$ tal que $\dfrac{2^n+1}{n^2}$ es un número entero.

Question

Encontrar todos los $n>1$ tal que $\dfrac{2^n+1}{n^2}$ es un número entero.

Sé que $n$ debe ser impar, entonces no sé cómo continuar. Por favor, ayudar. Gracias.

Answer 1

(OMI problema de 1990)

http://www.artofproblemsolving.com/Resources/Papers/SatoNT.pdf

La solución está en la página 33 en el caso de que se dé por vencido!

Answer 2

Consideremos $$\frac{2^n+1}{n^k}$$

Si $p$ ser el más pequeño de los primos que dividen a $n$

Deje $ord_p2=d,d\mid(p-1,2n)\implies d\mid 2$ $p-1<$ todos los demás primos,

$\implies p\mid (2^2-1)\implies p=3.$

Deje $3^r||n, 2^{2n}\equiv 1{\pmod {3^{kr}}}\implies \phi(3^{kr})|2n$ $2$ es una raíz primitiva de $3^s$ todos los $s\ge 1$ (como se mencionó en el Ejemplo 8.1 en la Naoki Sato de la solución mencionada en Pantelis Damianou la respuesta).

$\implies 2\cdot 3^{kr-1}|2n \implies kr-1\le r$ $(3^{kr-1},\frac{n}{3^{kr}})=1$

Por eso, $r(k-1)\le 1$

(1)Si $k>2$, no habrá solución.

(2)Si $k=2$

$\implies r=1,$ deje $q>p=3$ ser el próximo primos más pequeños que divide $n$.

$ord_q2$ debe dividir $(q-1,2\cdot 3\cdot \frac{n}{3})$

$\implies ord_q2\mid 6$ $q-1<$ todos los números primos mayores que $3\implies (q-1,\frac{n}{3})=1$

Por eso, $q\mid (2^6-1)\implies q=7$, pero $2^7+1=129$ no es divisible por $7$.

Así, no hay prime$>3$ que satisface la condición dada $\implies n=3$ si $k=2$.

(3)Si $k=1$, no hay ninguna restricción en $r>0$

Aquí $ord_q2$ debe dividir $(q-1,2\cdot 3^r\cdot \frac{n}{3^r})=(q-1,2\cdot 3^r)$

Por eso, $q-1=2^c3^d$ $q<$ cualquier otro de los números primos,$\implies (q-1,2\cdot 3^r)=2\cdot 3^{min(c,r)}$

Mediante programación, he observado que $n=3^s$ mantener $\frac{2^n+1}{n}$ un entero, donde $s$ es el número natural que se puede comprobar de la siguiente manera:

Como $2$ es una raíz primitiva de $3^s$ todos los $s\ge 1,$

Por Lo Tanto, Si $n=3^s$ $ord_{(3^s)}2=\phi(3^s)=2\cdot 3^{s-1}\implies 2^{\frac{\phi(n)}2}\equiv -1\pmod n$

Ahora, $\frac{\phi(n)}2=3^{s-1}\implies 2^{3^{s-1}}\equiv -1\pmod {3^s}$

$\implies (2^{3^{s-1}})^3\equiv -1\implies 2^{3^s}\equiv -1\pmod {3^s}$

Answer 3

La respuesta es correcta. Me dio la idea y el punto de inicio para la solución de este problema. Por cierto, es la primera respuesta para ser publicado y @ALMOHADILLA de encontrar la relación que da el resto de la solución. Él consiguió $10$ upvotes y esta respuesta tiene algunos upvotes y cada vez que algunos usuarios come de todo y downvote!!!. Se trata de un ataque en mis respuestas.

Sugerencia:ya que es un problema de teoría de números, entonces puede ser mejor considerar la correspondiente congruencia,

$$2^n+1=k \,n^2 \Rightarrow 2^n \equiv -1 (\mathrm{mod}\, n^2) \,.$$