¿Es correcto este paso trig?

Question

$\sin^{-1}(-\sin(x))$ = $-\sin^{-1}(\sin(x))$

¿Se puede al menos sacar como esta?

Answer 1

Por lo general, no es cierto que %#% $ #% tratar de cocinar un contraejemplo!

Sin embargo, en este caso, puesto que $$f^{-1}(-f(x)) = - f^{-1}(f(x))$es impar tenemos que$\sin

Answer 2

Sí, eso es válido, ya que el $\arcsin$, $\sin$ es una función impar.

Aquí, eso significa que el $\sin^{-1}(-f(x)) = -\sin^{-1}(f(x))$ y en este caso, $f(x) = \sin x$. Así que en última instancia, tenemos que %#% $ #%

Answer 3

Sólo es válido si se toma el dominio de $\sin^{-1}$ $[-1,1]$ y el rango de $[-\pi/2,\pi/2]$. Existen otras definiciones para que este no tiene. Por ejemplo, usted podría tomar el rango de $[\pi/2,3\pi/2]$.

Cualquier restricción a un simétrica subinterval (abierto o cerrado).

Comentario: a partir De mi comentario anterior sobre el OP pregunta:

"Esto sólo puede lograrse si usted está usando un dominio específico/rango en la definición de arcoseno. Véase mi respuesta a continuación. Muchas de las otras respuestas hacer esta suposición, pero es totalmente falso salvo en muy circunstancia específica. Cuando se trabaja con los inversos de las funciones que no son de 1-1, usted tiene que ser muy cuidadoso o puede pasar por alto algo y llegar a una respuesta equivocada"

Answer 4

Utilizando la definición de valor principal de la función seno inverso,

nosotros siempre podemos encontrar un entero $n$ tal que $\displaystyle x=n\pi+(-1)^n y$ $\displaystyle -\frac\pi2\le y\le\frac\pi2$

$\displaystyle\implies-\frac\pi2\le-y\le\frac\pi2$

$\displaystyle\implies\sin x=\sin(n\pi+(-1)^n y)=\sin y$

$\displaystyle\implies-\sin x=-\sin y=\sin(-y)$

$\displaystyle\implies\sin^{-1}(\sin(-y))=-y$ $\displaystyle-\frac\pi2\le-y\le\frac\pi2$

Del mismo modo, $\displaystyle\sin^{-1}(\sin x)=\sin^{-1}(\sin y)=y$ $\displaystyle-\frac\pi2\le y\le\frac\pi2$

Answer 5

Sí tienes razón. Se puede sacar ya que el valor de $sin(x)$ es como un ángulo.