Demostrar un resultado sobre el tamaño del conjunto mínimo que genera un grupo abeliano finito

Question

Se me pide que demuestre lo siguiente:

Dejemos que $G$ sea un grupo abeliano finito no trivial. Sea $s$ sea el menor número entero positivo tal que $G = \langle a_1,...,a_s\rangle$ para algunos $a_1,...,a_s \in G$ . Demostrar que $s$ es igual al número $t$ en la relación: $$G \cong \mathbb{Z}_{m_1} \oplus\cdots\oplus \mathbb{Z}_{m_t}$$ donde $m_i \mid m_{i+1}$ para $i=1,..,t-1$ .

Sabemos que tal lista de enteros ( $m_1,...,m_t $ ) existe, y es única por Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos .

He intentado abordar el problema de la siguiente manera:

Dejemos que $\rho : \mathbb{Z}_{m_1} \oplus\cdots\oplus \mathbb{Z}_{m_t} \rightarrow G$ sea un isomorfismo, entonces claramente $$G= \langle\ \rho(1,0,...0)\ ,\ \rho(0,1,...0)\ , ... ,\ \rho(0,0,...1)\ \rangle$$ , lo que implica $s\le t$ . Sin embargo, no pude averiguar cómo mostrar que $t \le s$ .

Answer 1

Una forma limpia de hacerlo consiste quizás en señalar que si $p$ es un primo que divide a $m_{1}$ entonces $G$ tiene un grupo cociente $Q$ isomorfo a $\mathbb{Z}_{p}^{t} = \mathbb{Z}_{p} \oplus \dots \oplus \mathbb{Z}_{p}$ .

Si en $$G \cong \mathbb{Z}_{m_1} \oplus\cdots\oplus \mathbb{Z}_{m_t}$$ un generador de la $\mathbb{Z}_{m_{i}}$ sumando es $a_{i}$ entonces $$ Q = G / \langle p a_{1}, \dots , p a_{k} \rangle. $$ De hecho $$ Q = \langle a_{1}, \dots , a_{k} \rangle / \langle p a_{1}, \dots , p a_{t} \rangle \cong \bigoplus_{i=1}^{t} \langle a_{i} \rangle / \langle p a_{i} \rangle \cong \mathbb{Z}_{p}^{t}, $$ como el orden de cada $a_{i}$ es un múltiplo de $p$ .

Incluso sin apelar a la teoría de los espacios vectoriales (véase el comentario de OP más abajo), un subgrupo de $Q$ generado por $k$ se ve fácilmente que tiene como máximo $p^{k}$ elementos, por lo que $Q$ no puede ser generado por menos de $t$ elementos.

Así, $G$ tampoco puede ser generado por menos de $t$ como cualquier conjunto de generadores para $G$ inducirá un conjunto de generadores para $Q$ .

Ahora, como OP ya señaló, el isomorfismo $$G \cong \mathbb{Z}_{m_1} \oplus\cdots\oplus \mathbb{Z}_{m_t}$$ muestra que $G$ tiene efectivamente un conjunto de generadores de tamaño $t$ .