Medico adjunto de la multiplicación por $z$ en el espacio de Bergman

Question

Estoy aprendiendo el espacio de Hilbert de la teoría de Halmos' "Introducción al espacio de Hilbert y la teoría espectral de la multiplicidad".

Al hablar acerca de la comprensión de adjoints (p. 39), que él llama especial atención a este ejemplo, señalando que "su adjunto no es lo que en principio puede aparentar ser":

Deje $\mathfrak H$ el conjunto de funciones analíticas definidas en el interior de la unidad de disco ($D$), cuadrado integrable con respecto a las planas de la medida de Lebesgue. A continuación, $\mathfrak H$ – " un espacio de Bergman– es un espacio de Hilbert con el producto interior $$\langle f,g \rangle= \int_D f\bar g d\lambda = \int_D f(x+iy)\bar g (x+iy) dxdy .$$

En $\mathfrak H$, considere la posibilidad de la multiplicación por $z$ opertator $A$, es decir, $(Af)(z)=zf(z).$

En el típico $L^2$ creo $A^*$ sería simplemente la multiplicación por $\bar z$, pero que las ruinas de la diferenciabilidad de $f$, por lo que en este caso debe ser alguna otra cosa.

He pensado que este operador de multiplicación funciona como el operador de desplazamiento a la secuencia de espacios si uno se identifica la función de $f$ con su poder serie de términos $(a_0, a_1, ..)$, la asignación de esta secuencia a $(0, a_0, a_1,..)$. Sé que el habitual desplazamiento derecha definidos en $l^2$ tiene como adjunto el desplazamiento a la izquierda cuando uno considera el producto interior $\langle \{a_n\},\{b_n\}\rangle = \sum a_n\bar b_n$, pero yo no sé cómo el producto interior de $\mathfrak H$ se vería traducido a la lengua de su correspondiente secuencia de espacio, por lo que este enfoque no ha ayudado mucho.

¿Cómo puedo construir este medico adjunto del operador?

Answer 1

La idea con la secuencia espacio es una buena. Una característica muy interesante de $\mathfrak{H}$ es que su espacio de Hilbert estructura encaja muy bien con la expansión de Taylor acerca de la $0$: Las funciones $p_n \colon z\mapsto z^n$ son mutuamente ortogonales.

$$\begin{align} \langle p_k, p_n\rangle &= \int_D z^k\cdot \overline{z^n}\,d\lambda\\ &= \int_0^1 \int_0^{2\pi} r^k e^{ik\varphi}\cdot r^n e^{-in\varphi} \,d\varphi\; r\,dr\\ &= \int_0^1 r^{k+n+1} \left(\int_0^{2\pi} e^{i(k-n)\varphi}\,d\varphi\right)\,dr\\ &= \begin{cases} \dfrac{\pi}{n+1} &, k = n\\\quad\vphantom{\dfrac12} 0 &, k \neq n. \end{casos} \end{align}$$

Ya que abarcan un subespacio denso, de la escala de funciones forman una base de Hilbert. Deje que nos indican

$$b_n(z) = \sqrt{\frac{n+1}{\pi}}\cdot z^n.$$

A continuación, $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ es una base ortonormales de $\mathfrak{H}$, y la multiplicación con $z$ en que base se convierte en

$$\begin{align} z\cdot f(z) &= z\cdot \sum_{n=0}^\infty c_n\cdot b_n(z)\\ &= z\cdot \sum_{n=0}^\infty c_n\sqrt{\frac{n+1}{\pi}}\cdot z^n\\ &= \sum_{n=0}^\infty c_n\sqrt{\frac{n+1}{\pi}}\cdot z^{n+1}\\ &= \sum_{n=1}^\infty c_{n-1} \sqrt{\frac{n}{\pi}}\cdot z^n\\ &= \sum_{n=1}^\infty c_{n-1}\sqrt{\frac{n}{n+1}}\cdot b_n(z), \end{align}$$

así que no es sólo un cambio de la secuencia correspondiente, pero un cambio junto con una multiplicación de los términos con la secuencia de $\sqrt{\frac{n}{n+1}}$.

Que hace que sea fácil para determinar el medico adjunto en términos de la secuencia de coeficientes con respecto a $(b_n)$. La traducción que en la representación por la serie de Taylor y, a continuación, a la función de nivel da una base libre de caracterización de la adjoint (que implica la integral definida).