La cardinalidad del conjunto de todas las funciones reales de variable real

Question

¿Cómo calcular la cardinalidad del conjunto de funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ (no necesariamente continua)?

Answer 1

Todo lo que necesitas es un par de conceptos básicos del cardenal aritmética: si $\kappa$ $\lambda$ son los cardenales, ninguno de ellos de cero, y al menos uno de ellos es infinito,$\kappa+\lambda = \kappa\lambda = \max\{\kappa,\lambda\}$. Y el cardenal exponenciación satisface algunas de las mismas leyes que regular exponenciación; en particular, $(\kappa^{\lambda})^{\nu} = \kappa^{\lambda\nu}$.

La cardinalidad del conjunto de todas las funciones reales, es entonces $$|\mathbb{R}|^{|\mathbb{R}|} =\mathfrak{c}^{\mathfrak{c}} = (2^{\aleph_0})^{2^{\aleph_0}} = 2^{\aleph_02^{\aleph_0}} = 2^{2^{\aleph_0}} = 2^{\mathfrak{c}}.$$ En otras palabras, es igual a la cardinalidad del juego de poder de $\mathbb{R}$.

Con un extra de unos pocos hechos, usted puede obtener más. En general, si $\kappa$ es un infinito cardenal, y $2\leq\lambda\leq\kappa$,$\lambda^{\kappa}=2^{\kappa}$. Esto se deduce porque: $$2^{\kappa} \leq \lambda^{\kappa} \leq (2^{\lambda})^{\kappa} = 2^{\lambda\kappa} = 2^{\kappa},$$ así se obtiene la igualdad en todo. La información extra que necesitamos para esto es de saber que si $\kappa$, $\lambda$, y $\nu$ son cero cardenales, $\kappa\leq\lambda$,$\kappa^{\nu}\leq \lambda^{\nu}$.

En particular, para cualquier infinita cardenal $\kappa$$\kappa^{\kappa} = 2^{\kappa}$.

Answer 2

Supongo que sabes que $|\mathbb{N}| = |\mathbb{N}\times\mathbb{N}|$ e lo $|\mathbb{R}| = |2^{\mathbb{N}}| = |2^{\mathbb{N}\times\mathbb{N}}| = |2^\mathbb{N}\times 2^\mathbb{N}| = |\mathbb{R}\times\mathbb{R}|$

Esto significa que $|P(\mathbb{R})| = |P(\mathbb{R}\times\mathbb{R})|$. Desde $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es un elemento de $P(\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ que $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ (todas las funciones de$\mathbb{R}$) es de cardinalidad menor o igual a la de $P(\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ lo que significa que $|\mathbb{R}^\mathbb{R}|\le |P(\mathbb{R})|$.

Ahora, desde la $|P(\mathbb{R})| = |2^\mathbb{R}|$, que es el conjunto de todas las funciones de$\mathbb{R}$$\{0,1\}$, y claramente cada una de las funciones de $\mathbb{R}$ a $\{0,1\}$ es, en particular, una función de $\mathbb{R}$ dentro de sí mismo, tenemos: $$|P(\mathbb{R})| = |2^\mathbb{R}| \le |\mathbb{R}^\mathbb{R}| \le |P(\mathbb{R}\times\mathbb{R})| = |P(\mathbb{R})|$$

Así que todo tenemos que $|\mathbb{R}^\mathbb{R}| = |P(\mathbb{R})| = |2^\mathbb{R}|$.

Answer 3

Esta respuesta se basa en, pero difiere ligeramente de la de, usuario Asaf Karaglia arriba.

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En primer lugar, observamos que, por definición, $\{\text{all real functions of real variable}\}:= \{f: \; f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}\} := \mathbb{R}^\mathbb{R}$.

La pregunta es acerca de $|\{\text{all real functions of real variable}\}|$, por lo que examinar cualquier función real de variable real: $f\,\colon\,\mathbb{R}\to\mathbb{R}.$
Por inspección, $f\,\colon\,\mathbb{R}\to\mathbb{R} := \{(r, f(r)) : r \in \mathbb{R}\} \quad \subseteq \quad P(\mathbb{R} \times \mathbb{R})$.
Por lo tanto, $\color{green}{|\mathbb{R}^{\mathbb{R}}| \le |P(\mathbb{R}\times\mathbb{R})|}$.

Antes de continuar, vamos a tratar de simplificar $|P(\mathbb{R}\times\mathbb{R})|$. Observar que $|\mathbb{R}| = |\mathbb{R}^k| \, \forall \, k \in \mathbb{N}$. Su prueba por inducción matemática requiere la inducción de la hipótesis de $|\mathbb{R}| = |\mathbb{R}^2|$, una prueba de que es : $|\mathbb{N}| = |\mathbb{N}\times\mathbb{N}| \implies |\mathbb{R}| = |2^{\mathbb{N}}| = |2^{\mathbb{N}\times\mathbb{N}}| = |2^\mathbb{N}\times 2^\mathbb{N}| = |\mathbb{R}\times\mathbb{R}|$.

De cierto, de $\mathbb{R} \neq \mathbb{R}^2$. Pero, para conjuntos infinitos $A,B$: $|A| = |B| \Longrightarrow \require{cancel} \cancel{\Longleftarrow} |P(A)| = |P(B)|$.
(A la inversa que se discute aquí.)

Por lo tanto, $|P(\mathbb{R})| = |P(\mathbb{R}\times\mathbb{R})| \implies \color{green}{|\mathbb{R}^\mathbb{R}| \le |P(\mathbb{R}\times\mathbb{R})|} = |P(\mathbb{R})|$. Ahora examinar $|P(\mathbb{R})|$:

● $\color{#A9057D}{|P(\mathbb{R})| = |2^{\mathbb{R}}|}$ donde $2^{\mathbb{R}} := \{f : \; f: \mathbb{R} \to \{0,1\}\}$,
● Cada $f: \mathbb{R} \to \{0,1\}$ es un caso particular de una función de$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$, lo $\color{#EC5021}{2^{\mathbb{R}} \subsetneq \mathbb{R}^\mathbb{R}}$.

En total, $\color{#A9057D}{|P(\mathbb{R})| =} \color{#EC5021}{|2^\mathbb{R}| \le} \color{green}{|\mathbb{R}^\mathbb{R}| \le |P(\mathbb{R}\times\mathbb{R})|} = |P(\mathbb{R})|$

$\implies |P(\mathbb{R})| \qquad \qquad \quad \leq |\mathbb{R}^\mathbb{R}| \leq |P(\mathbb{R})| \implies \color{#A9057D}{\underbrace{|P(\mathbb{R})|}_{= |2^\mathbb{R}|}} = |\mathbb{R}^\mathbb{R}| $.

Answer 4

Este es irrelevent aquí, todavía es 'relevante'. La cardinalidad del conjunto de toda función continua de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ $(C(\mathbb{R},\mathbb{R}))$ es $2 ^ \mathbb{N_0} = c$ porque tal función está determinada por su valor en racionales. por lo tanto $(C(\mathbb{R},\mathbb{R}))$% = $\mathbb{R}^\mathbb{Q}$% que tiene cardinalidad $2^\mathbb{N_0}$.