Muestran es uniformemente continua en $1/(1+ x^2)$ $\Bbb R$.

Question

Probar es uniformemente continua en $\frac 1{1+ x^2}$ $\Bbb R$.

Intento: Por definición una función $f: E →\Bbb R$ es uniformemente continuo iff cada $ε > 0$, hay un $δ > 0$ tal que $|x-a| < δ$ y $x,a$ son elementos de $E$ implica $|f(x) - f(a)| < ε.$

Entonces Supongamos que $x, a$ son elementos de $\Bbb R. $ ahora\begin{align} |f(x) - f(a)| &= \left|\frac1{1 + x^2} - \frac1{1 + a^2}\right| \\&= \left| \frac{a^2 - x^2}{(1 + x^2)(1 + a^2)}\right| \\&= |x - a| \frac{|x + a|}{(1 + x^2)(1 + a^2)} \\&≤ |x - a| \frac{|x| + |a|}{(1 + x^2)(1 + a^2)} \\&= |x - a| \left[\frac{|x|}{(1 + x^2)(1 + a^2)} + \frac{|a|}{(1 + x^2)(1 + a^2)}\right] \end {Alinee el}

No sé cómo simplificar más. ¿Alguien por favor me puede ayudar termine? Agradecer muy mucho.

Answer 1

Casi está terminando la prueba.

$$|x - a| (\frac{|x|}{(1 + x^2)(1 + a^2)} + \frac{|a|}{(1 + x^2)(1 + a^2)})\le |x - a| (\frac{1}{2(1 + a^2)} + \frac{1}{2(1 + x^2)})\le |x-a|$$

Tomar el $\delta=\epsilon$.

Answer 2

De acuerdo a la media del teorema del valor $$ \left|\frac1{1 + x^2} - \frac1{1 + a^2}\right| = f'(c)|x-a| $$ donde $f(x)=\dfrac 1 {1+x^2}$ $c$ está en algún lugar entre el$x$$a$. Pero $|f'(c)|\le\max |f'|$, el máximo absoluto de valor de $|f'|$. En orden para que esto tenga sentido, usted necesita demostrar que $|f'|$ tiene un máximo absoluto de valor. Pero eso no es difícil. Así que usted tiene $$ |f(x)-f(a)|\le M|x-a| \text{ para TODOS los valores de $x$$a$}, $$ (donde $M$ es el máximo absoluto de $|f'|$). Por lo $f$ es Lipschitz continua y por lo tanto uniformemente continua.

Answer 3

Sugerencia: $$\frac{|x|}{(1+x^2)(1+a^2)} \leq \frac{|x|}{1+x^2} < 1$ $ y $$\frac{|a|}{(1+x^2)(1+a^2)} \leq \frac{|a|}{1+a^2} < 1$ $

Answer 4

Indirecta: utilice la desigualdad $$x > 0\implies x < 1 + x ^ 2 $$ (si $x<1$ es cierto lo contrario mediante multiplicación por $x$, $x>1\implies x^2>x$)