Suma la serie infinita de $\frac{1}{r^3+1}$

Question

Hay un valor definido para la suma:

$S=\sum_{r=1}^{\infty} \frac{1}{r^3+1}$

Y si es así, ¿cómo llegaría a encontrar esta suma?

He intentado reducir la anterior en fracciones parciales, sin embargo parece que no puedo llegar a ninguna respuesta definitiva (preferiblemente en términos de función primaria).

Answer 1

Parcial fracciones da $$ \frac1{k^3+1}=\frac13\left(\frac1{k+1}-\frac\alpha{k-\alpha}-\frac\beta{k-\beta}\right)\etiqueta{1} $$ donde$\alpha+\beta=1$$\alpha\beta=1$. Set$\alpha=\dfrac{1+i\sqrt3}{2}$$\beta=\dfrac{1-i\sqrt3}{2}$.

La función digammaes $$ \psi(z+1)=-\gamma+\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1k-\frac1{k+z}\right)\etiqueta{2} $$ donde $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni constante.

Entonces, ¿qué Wolfram-Alpha es devolver es simplemente $$ \begin{align} \sum_{k=1}^\infty\frac1{k^3+1} &=\sum_{k=1}^\infty\frac13\left(\frac1{k+1}-\frac\alpha{k-\alpha}-\frac\beta{k-\beta}\right)\\ &=-\frac13\left(-\gamma+\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)\right)\\ &\hphantom{=}+\frac\alpha3\left(-\gamma+\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1k-\frac1{k-\alpha}\right)\right)\\ &\hphantom{=}+\frac\beta3\left(-\gamma+\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1k-\frac1{k-\beta}\right)\right)\\ &=\frac\alpha3\psi(1-\alpha)+\frac\beta3\psi(1-\beta)-\frac13(1-\gamma)\tag{3} \end{align} $$ Conectar $(3)$ en Mathematica rendimientos $0.686503342338623885964605212187$.

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Tenga en cuenta que $(3)$ y esta respuesta se suma a $\zeta(3)-\frac12$. Por lo tanto, $$ \sum_{k=1}^\infty\frac1{k^3+1}=\frac12+\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}(\zeta(3k)-1)\etiqueta{4} $$ que como se comentó en la otra respuesta, converge $0.9$ dígitos por cada término.