Todas las raíces de $ \lambda x + \cot(x) = 0 $ son reales. Buscando una prueba alternativa.

Question

Estoy buscando una prueba alternativa (posiblemente más simple) del siguiente hecho, que tiene cierta relevancia en encontrar las funciones propias del operador laplaciano.

Para cualquier $\lambda\in\mathbb{R}^+$, $\lambda\geq 1$, todas las soluciones de $$ \cot(x) + \lambda x = 0$$ pertenecen a $\mathbb{R}$.

Mi prueba es la siguiente: solo debemos demostrar que todas las raíces de $f(x)=\cot(x)+\lambda x$ son reales. Si asumimos lo contrario, entonces $f'(x)=\lambda-\frac{1}{\sin^2(x)}$ debe tener alguna raíz compleja según el teorema de Gauss-Lucas. Es decir, estamos diciendo que para algún $z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ tenemos $\sin(z)=\pm\frac{1}{\sqrt{\lambda}}$, o, al establecer $z=\sigma+it$, $$ e^{i\sigma-t}-e^{-i\sigma+t} = \pm\frac{2i}{\sqrt{\lambda}}. $$ Sin embargo, si establecemos $w=e^{iz}$, la ecuación $w-\frac{1}{w}=\frac{2i}{\sqrt{\lambda}}$ solo se resuelve con $$ w = \frac{i\pm\sqrt{\lambda-1}}{\sqrt{\lambda}} $$ que es un número en el círculo unitario. Esto lleva a que $z\in\mathbb{R}$, es decir, $t=0.

Pregunta extra. ¿Qué podemos decir sobre la distribución de las raíces si $\lambda\in\mathbb{R}$ pero $\lambda < 1$?

Answer 1

Siguiendo la metodología descrita en el artículo referenciado por David Renfro, sea $z=x+iy$ con $x\in \mathbb{R}$ y $y\in \mathbb{R}$. Entonces, asumimos que $x\ne 0$ y $y\ne 0$. La ecuación $\cot(z)+\lambda z=0$ implica que

$$\frac{\sin(2x)}{\cosh(2y)-\cos(2x)}-i\frac{\sinh(2y)}{\cosh(2y)-\cos(2x)}+\lambda (x+iy)=0 \tag 1$$

Igualando las partes real e imaginaria de $(1)$ obtenemos

$$\begin{align} \frac{\sin(2x)}{\cosh(2y)-\cos(2x)}&=-\lambda x \tag 2\\\\\ \frac{\sinh(2y)}{\cosh(2y)-\cos(2x)}&=\lambda y \tag 3 \end{align}$$

Dado que ni $x$ ni $y$ son cero, el denominador de los lados izquierdos de $(2)$ y $(3)$ es estrictamente positivo. Por lo tanto, podemos dividir $(2)$ entre $(3)$ para obtener

$$\frac{\sin(2x)}{\sinh(2y)}=-\frac{x}{y}$$

para $\lambda \ne 0$, luego de reorganizar llegamos a

$$- 2 < \frac{\sin(2x)}{x}=-\frac{\sinh(2y)}{y} < -2\tag 4$$

Llegamos a la contradicción deseada. Por lo tanto, solo puede haber soluciones puramente reales o puramente imaginarias a $\cot(z)+\lambda z=0$, $\lambda \ne 0$.

Si $x=0$, entonces las soluciones de la ecuación de interés son soluciones de

$$\coth(y)=-\lambda y \tag 5$$

Si restringimos $\lambda\ge 1$, entonces vemos que no hay soluciones para $\cot(iy)+\lambda (iy)=0$.

---

NOTA:

Agradecimientos especiales a Martin R por identificar varios errores en la edición original.