Todas las raíces de $\lambda x+\cot(x)=0$ son reales. Buscando una prueba alternativa

Question

Estoy buscando una alternativa (posiblemente más simple) la prueba de la siguiente hecho, que tiene cierta relevancia en la búsqueda de las funciones propias para el operador laplaciano.

Para cualquier $\lambda\in\mathbb{R}^+$, $\lambda\geq 1$, todas las soluciones de $$ \cot(x) + \lambda x = 0$$ pertenecen a $\mathbb{R}$.

Mi prueba es el siguiente: sólo tenemos que demostrar que todas las raíces de $f(x)=\cot(x)+\lambda x$ son reales. Si suponemos que el opuesto, a continuación, $f'(x)=\lambda-\frac{1}{\sin^2(x)}$ debe tener algún complejo de raíz por el de Gauss-Lucas teorema. Que es el mismo que indica que para algunos $z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ tenemos $\sin(z)=\pm\frac{1}{\sqrt{\lambda}}$, o bien, mediante el establecimiento $z=\sigma+it$, $$ e^{i\sigma-t}-e^{-i\sigma+t} = \pm\frac{2i}{\sqrt{\lambda}}. $$ Sin embargo, si fijamos $w=e^{iz}$, la ecuación de $w-\frac{1}{w}=\frac{2i}{\sqrt{\lambda}}$ se resuelve sólo por $$ w = \frac{i\pm\sqrt{\lambda-1}}{\sqrt{\lambda}} $$ que es un número en el círculo unidad. Que conduce a $z\in\mathbb{R}$, es decir,$t=0$.

Pregunta Extra. ¿Qué podemos decir acerca de la distribución de las raíces si $\lambda\in\mathbb{R}$ pero $\lambda < 1$?

Answer 1

Siguiendo la metodología que se indica en el documento de referencia por David Renfro, vamos a $z=x+iy$$x\in \mathbb{R}$$y\in \mathbb{R}$. A continuación, suponga que $x\ne 0$$y\ne 0$. La ecuación de $\cot (z)+\lambda z=0$ implica que

$$\frac{\sin(2x)}{\cosh(2y)-\cos(2x)}-i\frac{\sinh(2y)}{\cosh(2y)-\cos(2x)}+\lambda (x+iy)=0 \tag 1$$

Igualando las partes reales e imaginarias de $(1)$ revela

$$\begin{align} \frac{\sin(2x)}{\cosh(2y)-\cos(2x)}&=-\lambda x \tag 2\\\\\ \frac{\sinh(2y)}{\cosh(2y)-\cos(2x)}&=\lambda y \tag 3 \end{align}$$

Ya que ni $x$ ni $y$ es cero, el denominador de la mano izquierda lados de $(2)$ $(3)$ son estrictamente positivos. Podemos dividir, por lo tanto, $(2)$ a $(3)$ obtener

$$\frac{\sin(2x)}{\sinh(2y)}=-\frac{x}{y}$$

para $\lambda \ne 0$, con lo que la reorganización de los rendimientos

$$- 2 < \frac{\sin(2x)}{x}=-\frac{\sinh(2y)}{y} < -2\tag 4$$

Llegamos a la deseada contradicción. Por lo tanto, no sólo puede ser puramente real o puramente imaginario soluciones a $\cot(z)+\lambda z=0$, $\lambda \ne 0$.

Si $x=0$, entonces las soluciones de la ecuación de interés son soluciones a

$$\coth(y)=-\lambda y \tag 5$$

Si nos restringimos $\lambda\ge 1$, entonces podemos ver que no hay soluciones a $\cot(iy)+\lambda (iy)=0$.

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NOTA:

Un agradecimiento especial a Martin R para la identificación de varias erratas en la edición original.