Recuerdo que goza de los van Kampen ejercicios en la escuela de posgrado, así que voy a darle una oportunidad. El topologists con suerte puede agregar más respuestas útiles.
Como primer ejemplo consideramos la esfera, con una sola asa, es decir, el toro. Esperemos que ya sabe la respuesta, así que vamos a ver cómo van Kampen hace. Vamos a dividir el toro en dos partes, $U$ $V$ con una ruta de acceso conectados a la intersección, de tal manera que sabemos que el grupo fundamental de la $U,V$$U\cap V$. Deje $V$ ser sólo una pequeña disco abierto en la superficie del toro. Deje $K$ ser aún más cerrado disco dentro de $V$, y deje $U$ ser el complemento de $K$ sobre la totalidad del toro, por lo $U\cap V = V\setminus K$ es un espacio abierto de anillo alrededor del perímetro de $V$.
$V$ es contráctiles y tiene un trivial grupo fundamental.
$U\cap V$ contratos a un círculo, y tiene el infinito cíclico grupo como el grupo fundamental. Un generador de este grupo es el bucle de $g$ ir una vez alrededor del círculo.
$U$ es esencialmente el toro con un agujero hecho por la eliminación del parche $K$. Haciendo el agujero más grande y más grande, con el tiempo ver que $U$ contratos a la figura de un ocho 8. Si nos fijamos en el toro como una cámara de bicicleta, a continuación, $U$ es el tubo con la válvula y sus alrededores removido, y los contratos para la unión de un gran círculo de $x$ (los puntos que toca el suelo, si gira la rueda de 360 grados) y un pequeño círculo de $y$ alrededor de la sonda. Estos dos círculos se intersectan en un solo punto. Por lo que el grupo fundamental de la $U$ es el grupo en dos generadores $x$$y$.
¿Qué van Kampen nos dicen sobre el grupo fundamental de la unión de $U\cup V$? Básicamente tenemos el producto libre de los grupos fundamentales de $U$$V$, pero tenemos que hacer un montón de identificaciones mediante la introducción de las relaciones que comparar las imágenes (en virtud de la inducida por la inclusión de mapas) de los elementos de $\pi_1(U\cap V)$ a cada lado.
Aquí $\pi_1(U\cap V)=\langle g\rangle$, por lo que solo necesitamos comprobar, de qué tipo de relación tenemos, equiparando la imagen de $g$$\pi_1(U)$$\pi_1(V)$. En $\pi_1(V)$ la imagen de $g$ es, por supuesto, trivial, porque el bucle de trivialmente contratos a un punto, una vez que nos permitirá pasar a $K$. La parte divertida es observar que cuando se "expanda el agujero $K$ para el complemento de la figura 8", el bucle $g$ se convierte en el colector $xyx^{-1}y^{-1}$ (alterar el orden de los factores en función de las decisiones de las orientaciones que se hizo).
Usted puede necesitar para dibujar una imagen para ver que esta sucediendo. Como sustituto, yo sugeriría que si se forma el toro por la cola juntos los lados opuestos de un rectángulo en la forma habitual, a continuación, $K$ es un agujero en el medio, $g$ es un bucle alrededor de ella, la figura 8 es la frontera del rectángulo con la obvia identificaciones, y "la ampliación del agujero", pulsando el bucle para ir una vez en todo el perímetro de la plaza.
De todos modos, van Kampen nos dice ahora para identificar a $xyx^{-1}y^{-1}$ con el trivial elemento de giro libre grupo en dos generadores en un grupo abelian en dos generadores. Los poderes de la $g$ no introducir cualquier tipo de nuevas relaciones, por lo que estamos por hacer.
