Subconjunto de un P-ideal no tiene que ser un ideal P

Question

Yo estaba buscando ejemplos que muestran que el subconjunto de P-ideal no es necesario. Voy a publicar a continuación un contraejemplo que yo era capaz de encontrar. (Espero que sea correcta). Pero me gustaría ver otras simples (o de interés), ejemplos.$\newcommand{\I}{\mathcal I}\newcommand{\J}{\mathcal K}$

Un ideal $\I$ de los subconjuntos de un conjunto $X$ se dice que es un P-ideal si, para cada secuencia $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ de los conjuntos de $\I$, hay un $A\in\I$ tal que $A_n\subset^*A$ todos los $n$'s. (La notación $A\subset^*B$ significa que $A\setminus B$ es finito.)

Varios equivalente reformulaciones de esta propiedad se puede obtener con relativa facilidad. Algunos autores trabajan con doble noción llamado P-filtro. Un filtro de $\mathcal F$ es P-filtro si y sólo si cada sistema contable de conjuntos de $\mathcal F$ tiene un pseudointersection en $\mathcal F$. Ultrafilters con esta propiedad se llaman p-puntos.

Lo que más me interesa P-ideales contable de conjuntos, por lo que podemos w.l.o.g asumen $X=\mathbb N$.

Pregunta: ¿cuáles son algunos ejemplos de ideales $\I$, $\J$ tal que $\J\subseteq\I$ donde $\I$ es un P-ideal, sino $\J$ no es un P-ideal.

Answer 1

Deje $$D_k=\{n\in\mathbb N; \text{prime factorization of $n$ has precisely $k$ prime factors}\}.$$ Esta es la descomposición de la $\mathbb N$ en infinidad de infinitos pares de subconjuntos disjuntos.

Definamos $\J=\{A\subseteq\mathbb N; A\text{ intersects only finitely many of sets }D_n\}$. A continuación, $\J$ es un ideal y no es un P-ideal. (Para ver esto simplemente tome $A_n=D_n$.)

Pero cada conjunto en $\J$ ha asintótica de la densidad de cero, por lo $\J\subseteq\I=\{A\subseteq\mathbb N; d(A)=0\}$. Se sabe que el ideal que consta de conjuntos de tener cero asintótica de la densidad es un P-ideal. De hecho, S. Solecki descrito gran clase de análisis P-ideales de una manera similar, con algún tipo de submeasure en lugar de la densidad asintótica; S. Solecki: Analítica Ideales. Bull. La Lógica simbólica Volumen 2, Número 3 (1996), 339-348; disponible aquí, projecteuclid, jstor.

El hecho de que cada conjunto $A\in\J$ tiene una densidad de cero es dado como Corolario 2, en I. Niven: La densidad asintótica de secuencias; DOI:10.1090/S0002-9904-1951-09543-9, projecteuclid.

Answer 2

Es fácil de construir ejemplos. En primer lugar, construir una secuencia $A_\alpha$ ($\alpha < \omega_1$) de subconjuntos de a $\mathbb{N}$, la satisfacción de $A_\alpha \subset^* A_\beta$ todos los $\alpha < \beta < \omega_1$ (por lo $A_\alpha \setminus A_\beta$ es finito y $A_\beta \setminus A_\alpha$ es infinito). Esto es fácil de hacer con un argumento de diagonalización.

En Martin de la solicitud, voy a esbozar la construcción de dicha secuencia. Empezar con $A_0 = \emptyset$. En un sucesor paso $\alpha+1$, vamos a $A_{\alpha+1} = A_\alpha\cup B$ donde $B$ es cualquier infinita, co-infinito subconjunto de $\mathbb{N}\setminus A_\alpha$. (Para ello tenemos que asegurarnos de que $A_\alpha$ es co-infinito para cada $\alpha$; vamos a ver cómo hacer esto en el límite de la etapa.) Ahora para el límite de $\alpha$, supongamos $\alpha_n$ es un aumento, cofinal secuencia en la $\alpha$, y deje $A$ ser la unión de $\bigcup A_{\alpha_n}$. Para cada una de las $n$ elegir un punto de $t_n\in A_{\alpha_n}$ tal que $t_n$ no $A_{\alpha_m}$ cualquier $m < n$. Deje $A_\alpha = A\setminus\{t_n | n\in\mathbb{N}\}$.

Ahora tome $\mathcal{I}$ a ser el ideal de subconjuntos $A$ $\mathbb{N}$ tal que $A\subseteq^* A_\alpha$ algunos $\alpha < \omega_1$, y, para algunos de límite fijo ordinal $\beta < \omega_1$, vamos a $\mathcal{K}_\beta$ a ser el ideal de subconjuntos $A$ $\mathbb{N}$ tal que $A\subseteq^* A_\alpha$ algunos $\alpha < \beta$. Es fácil ver que $\mathcal{I}$ $P$- ideal. A ver que $\mathcal{K}_\beta$ no es un $P$-ideal, considere la posibilidad de un cofinal secuencia $\beta_n$$\beta$; a continuación, la secuencia $A_{\beta_n}$ no $\subseteq^*$-límite superior en $\mathcal{K}_\beta$.