Actualmente estoy trabajando a través de Frenkel hermoso papel: http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/0512/0512172v1.pdf. Estoy buscando un buen ejemplo de una curva proyectiva ensuciarme las manos, y vaya a través de la dirección general de construcciones que Frenkel muestra que hay y tratar de hacer de forma manual para este ejemplo de una curva. Hay buenos ejemplos instructivos para hacer esto? (O no siempre van de la mano muy rápidamente?)
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Lamentablemente no creo geométricas Langlands es muy fácil en cualquier curva. La única curva donde los objetos son fácilmente accesibles es $P^1$, pero incluso allí, el estado general es un poco complicado (ver Lafforgue la nota aquí). Me gustaría ver Frenkel los escritos sobre la Gaudin modelo, que es una muestra concreta de la Beilinson-Drinfeld-Feigin-Frenkel enfoque geométrico Langlands para $P^1$ con varios pinchazos. También Arinkin y Lysenko trabajado de manera explícita un caso geométrico de Langlands (en un sentido más fuerte) en $P^1$, menos de 4 puntos -- ver los cuatro primeros papeles en mathscinet de búsqueda para Arinkin. Así que la respuesta es tratar de $P^1$ con algunos pinchazos, pero no se sorprenda si las cosas son bastante complicados ya allí.
(También creo geométricas Langlands en una curva elíptica deben ser accesibles, pero como yo se que no ha sido trabajado de manera muy explícita.)
sheetansh
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Este es un tipo de pregunta que nos hemos preguntado hace aproximadamente 10 años :)
Nuestra respuesta - $P^1$ con nodos y aristas (y más en general el singularidades) son muy buenos ejemplos para hacer esto. La respuesta es realmente motivado por Serre "Algebraica de los grupos y algebraica de los campos de la clase ...", donde trabaja con la generalizada Jacobions y abelian Langlands (es decir, de la clase de teoría de campo).
Nos preocupa la parte de la Langlands que trata el Hitchin D-módulos (estos NO todos los Hecke-eigensheves).
En los papeles con Dmitry Talalaev hemos descrito clásica Hitchin sistema de tales curvas. http://arxiv.org/abs/hep-th/0303069 Hitchin sistema en singular curvas I
http://arxiv.org/abs/hep-th/0309059 - aquí hay más general de las singularidades
El segundo paso fue la cuantización de Hitchin del hamiltonianos. En realidad es el mismo que para cuantizar Gaudin del hamiltoniano. Ingenuo receta - sólo funciona para sl(2), sl(3) - http://arxiv.org/abs/hep-th/0404106
El avance que Dmitry Talalaev encontrado http://arxiv.org/abs/hep-th/0404153 la cuantificación de la Gaudin Sistema
cómo hacer DOS cosas al mismo tiempo, propuso una bella fórmula:
1) Todos los cuántica Hitchin (Gaudin) Hamiltonionas (después generalizado a todo el centro universal de la envolvente para el bucle de álgebra)
2) al mismo tiempo, le da la GL-oper de forma explícita (por otra parte se da "el universal" GL-oper lo que significa que su coefficents cuántica son Hitchin (Gaudin) hamiltonianos, pero no los números complejos). La fijación de los valores de Hitchin del hamiltonianos podemos obtener los valores complejos de GL-oper, que corresponde por Langlands a estos Hitchin del hamiltonianos. Así que el Langlands correspondencia: Hitchin D-módulo -> GL-oper es muy explícito.
3) Su fórmula hace explícita la idea de que "GL-oper es la cuantización de la curva espectral"
En cierta medida esto resuelve las preguntas acerca de la Laglands para GL-Hitchin del sistema. No hemos de anotar la prueba de "Hecke-eigenvaluedness" de Hitchin D-módulos. Pero parece que es bastante claro(puede no ser la ritht palabra), si tomamos apropiado punto de vista en Hecke de las transformaciones - como en el papel por A. Braverman, R. Bezrukavnikov http://arxiv.org/abs/math/0602255 Geométricas Langlands correspondencia D-módulos en primer característica: el GL(n) en el caso
Una de las ideas clave - que usted puede hacer todo en "límite clásico" y de cuantización. Ellos trabajaron para finito de los campos, de forma que pueden utilizar algún truco para ir desde la clásica a la cuántica, sobre los números complejos tenemos explícita fórmulas Talalaev por lo que ellos deben hacer lo mismo.
Permítanme mencionar también que Hecke transformaciones son también conocidos como Backlund transformaciones en integrabilidad y documentos pertinentes son:
http://arxiv.org/abs/nlin/0004003 Backlund transformaciones para finito-dimensional integración de sistemas: un enfoque geométrico V. Kuznetsov, P. Vanhaecke
http://arxiv.org/abs/nlin/0110045 Hitchin Sistemas - Simpléctica Hecke de la Correspondencia y de Dos dimensiones de la Versión A. M. Levin, M. A. Olshanetsky, A. Zotov
Sería muy lindo proyecto para considerar desde este punto de vista, $P^1$ con la cúspide, la cotangente de espacio de moduli de vector de paquetes es $[X,Y]=0/GL(n)$, lo mismo que es considerado en Etingof del Ginzburg del papel
http://arxiv.org/abs/math/0011114 Simpléctica reflexión álgebras, Calogero-Moser espacio, y la deformación de Harish-Chandra homomorphis
Sería muy bonito (y debe ser simple) para describir explícitamente el Hecke-Bacclund transformaciones y su acción sobre CalogeroMoser sistema y así sucesivamente...
sheetansh
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Mosuli espacio de SL_2 bultos en cualquier género 2 curva - es P^3 por Narashimhan y Ramanan. Así que, trabajando con P^3 deben ser accesibles, pero podría no ser tan fácil como pareciera...
Clásica Hitchin sistema ha sido descrito por van Geemen, Previato, Gawedzki, et. al.
http://arxiv.org/abs/alg-geom/9410015
http://arxiv.org/abs/solv-int/9710025
Quantum hamiltonianos debe estar contenida en Geemen de Jong papel: http://arxiv.org/abs/alg-geom/9701007
Así que uno necesita para 1) Quantize (?se puede hacer) 2) Hacer Hecke transformar y ver que el resultado es como se predijo por Beilison y Drinfeld - producto inicial de Hitchin D-módulo D-módulo de dar por SL_2-oper.
Si yo creo que en esta me gustaría probar a hacer lo siguiente:
1) encontrar Laxa de la matriz L(z) - esto puede ser hecho por Gawedzki, et.al.
2) tratar de adivinar lo que es el "qauntum curva espectral" "det"(d/dz - L(z)) - le da tanto cuántica Hitchin hamiltonianos y SL_2-oper (esta hecho por Talalaev para Gaudin-Hitchin para P^1 http://arxiv.org/abs/hep-th/0404153 )
3) intenta demostrar que Hecke transformación está de acuerdo con "qauntum spectal curva"
Como en el post anterior me gustaría sugerir fuertemente el uso de la tierra, el punto de vista de Hecke transformación.
De tal manera que uno puede demostrar que la Hitchin D-módulo de Hecke eigen-polea con "valor propio", otorgado por la SL_2-oper="quantum curva espectral" (D-módulo básico de la curva).
Consideraciones de otros Hecke eigensheaves (no Hitchin) es otra historia...
En nuestro papel http://arxiv.org/abs/hep-th/0303069 hemos descrito clásica Hitchin sistema para los degenerados género 2 curva de y^2 = (x-a)^3 (x-b)^3. Sin embargo no hemos de comprobar que nuestros "análogos" de Narasimhan-Ramanan coordenadas son, de hecho, los límites de la verdadera Narashimhan-Ramanan coordenadas, por lo que podría no ser muy útil. También Talalaev la fórmula no puede ser aplicado directamente por la matriz Laxa en estas coordenadas. Es coordinar dependiente, es problema solucionable, pero requiere un poco de trabajo.
