Indiscernible para crear descendente de la cadena de primaria modelos

Question

Deje $M$ un infinito estructura tal que $\mid M \mid \ge \mid L(M) \mid $. Mostrar que existe una adecuada primaria de la extensión de $N$ y una cadena de $\langle N_{i} \mid i < \omega \rangle $ tal que $$N=N_{0}, \ \ N_{i} \succ N_{i+1} $$ for all $i< \omega $ and $M=\bigcap_{i< \omega} N_{i}$

Que este ejercicio viene como una aplicación de la secuencia de indiscernible, el procedimiento sería encontrar una secuencia de indiscernible y con esta secuencia y con $M$ construir el primer modelo de $N_{0}$ de la cadena de primaria extensiones de $M$. No estoy seguro de si es el correcto. Gracias por cualquier sugerencia.

Answer 1

Primo de Petri de la respuesta da la idea de derecho, pero no funciona exactamente como se indica. El problema es que puede haber algún elemento $b\notin M$ tal que $b\in N_n = \text{dcl}(\{a_i\mid n < i < \omega\}\cup M)$ (en el Skolemized idioma) para todos los $n$.

Por ejemplo, supongamos $L = \{E\}$, y deje $T$ ser la teoría que afirme que el $E$ es una relación de equivalencia con infinidad de infinitas clases y $f$ elige un representante de cada clase. Es decir,$aEf(a)$$aEb\rightarrow f(a) = f(b)$. Ahora vamos a $M$ ser un modelo, y deje $\{a_i\}_{i\in\omega}$ $M$- indiscernible de la secuencia en una sola clase de equivalencia (por lo $a_iEa_j$ todos los $i$$j$, pero $\lnot a_i E m$ todos los $i$$m\in M$). Ahora el elemento $b = f(a_n)$ $N_n$ todos los $n$, pero no en $M$.

Para solucionar esto, podemos elegir nuestra secuencia con más cuidado. He aquí algunas definiciones:

• Un tipo de $p(x)$ $A$ es un coheir de su restricción a $M\subseteq A$ si para cada fórmula $\varphi(x,\overline{a})$ existe $m\in M$ tal que $\models \varphi(m,\overline{a})$.
• Deje $p(x)$ ser un tipo global (es decir, un tipo al monstruo modelo de $\mathcal{U}$, aunque si no estás cómodo con el monstruo de los modelos, $|M|^+$saturada va a hacer), que es un coheir de su restricción a $M$. Un coheir secuencia de $p(x)$ es una secuencia $\{a_i\}_{i\in\omega}$ $\mathcal{U}$ tal que $a_n\models p\restriction Ma_1\dots a_{n-1}$ todos los $n$. Tenga en cuenta que $\text{tp}(a_n/Ma_1\dots a_{n-1})$ es un coheir de su restricción a $M$.

Y aquí están algunas cosas para ver:

• Para cualquier tipo de $p(x)$ sobre un modelo de $M$, y cualquier conjunto mayor $A$, no es una extensión de $p$ a un tipo de $q(x)\supseteq p(x)$$A$, de tal manera que $q$ es un coheir de $p$.
• Cualquier coheir secuencia es indiscernible.
• Si hacemos Primo de Petri de la construcción con un coheir secuencia de más de $M$ (en el Skolemized idioma), obtenemos una solución para el problema.

He visto que este problema se da como un ejercicio en más de una ocasión por las personas que creo que va a ser una fácil aplicación de EM-modelos, sin darse cuenta de que no cualquier indiscernible de la secuencia de las obras y una más avanzada tema como coheir secuencias es necesario para la solución.

Answer 2

Ampliar el lenguaje con funciones de Skolem. Deje $\{a_i: i<\omega\}$ ser algunos de los elementos que $a_n\notin\operatorname{dcl}(\{a_i: n<i<\omega\}\cup M)$. (El definability cierre es relativa a la Skolemized lengua). Cualquier indiscernible de la secuencia sin duda cumple con este requisito. Deje $N_n$ (el reducto a$L$) de la estructura generada por $M\cup\{a_i: n<i<\omega\}$.

Pregunta. Hay una respuesta que no hace uso de funciones de Skolem?