Problema similar al problema 51 del capítulo 2 de folland.

Question

Dejemos que $(X\mathcal M,\mu)$ y $(Y,\mathcal N,v)$ sea $\sigma$ -espacios de medida finita.

1. Si $f:X\to\Bbb R$ es $\mathcal M$ -Medible, $g:Y\to\Bbb R$ es $\mathcal N$ -medible, y $h(x,y)=f(x)g(y)$ , demuestre que $h$ es $\mathcal M\otimes \mathcal N$ -Medible.

2. Si $f\in L^1(\mu)$ y $g\in L^1(v)$ , demuestre que $h\in L^1(\mu\times v)$ y $$\int\, h\,d(\mu\times v)=\left[\int\,f\,\mathrm d\mu\right]\left[\int\,g\,\mathrm dv\right].$$

¿Podría alguien mostrarme cómo probar esto? Lo he estado mirando y no se me ocurre por dónde empezar. Estoy un poco desesperado. Voy a valorar mucho su ayuda. Gracias.

Answer 1

1. El problema es fácil si $f$ y $g$ son funciones características de conjuntos medibles. Entonces utilizamos el hecho de que podemos aproximar puntualmente una función medible por combinaciones lineales de funciones características de conjuntos medibles.

2. En primer lugar, suponemos que $f$ y $g$ son no negativos. Utilizamos la definición de la medida del producto cuando $f=\chi_A$ y $g=\chi_B$ . Luego extendemos a funciones simples y utilizamos el teorema de convergencia monótona.

Answer 2

Creo que he resuelto el problema. Si alguien tiene comentarios, se lo agradecería mucho.

$\text{a)}$ Definir $\phi:X\times Y\to\Bbb R\times\Bbb R$ por $\phi(x,y)=\left(f(x),g(y)\right)$ y definir $\psi:\Bbb R\times\Bbb R\to\Bbb R$ por $\psi(m,n)=mn$ . Observe que $h$ es la composición de estas dos funciones, es decir $$h(x,y)=f(x)g(y)=\left(\psi\circ\phi\right)(x,y).$$ Como una función continua de una función medible es medible, basta con demostrar que $\phi(x,y)$ es un $(\mathcal M\otimes\mathcal N)$ -función medible de $X\times Y$ en $\Bbb R\times \Bbb R$ . Sea $R$ sea un rectángulo abierto en $\Bbb R\times\Bbb R$ tal que $R=A\times B$ para algunos conjuntos abiertos $A$ y $B$ en $\Bbb R$ . Entonces $$\begin{align} \phi^{-1}(R)=\phi^{-1}(A\times B)&=\{(x,y):f(x)\in A,g(y)\in B\}\\\,\\ &=\{(x,y):f(x)\in A\}\cap\{(x,y):g(y)\in B\}\\\,\\ &=\left(f^{-1}(A)\times Y\right)\cap\left(X\times g^{-1}(B)\right)\\\,\\ &=f^{-1}(A)\times g^{-1}(B). \end{align}$$ Desde $f^{-1}(A)\in\mathcal M$ y $g^{-1}(B)\in\mathcal N$ y $f$ y $g$ son $\mathcal M$ y $\mathcal N$ medibles, respectivamente. Por lo tanto, $\phi^{-1}(R)\in\mathcal M\otimes\mathcal N$ y por lo tanto, $h(x,y)$ es $(\mathcal M\otimes\mathcal N)$ -Medible. $\,\blacksquare$

$\text{b)}$ Supongamos que $f$ y $g$ son funciones medibles no negativas. Sea $\{\phi_n\}$ y $\{\psi_n\}$ sean secuencias de funciones crecientes tales que $\phi_n\to f$ y $\psi_n\to g$ convergen puntualmente en $X$ y $Y$ respectivamente. Entonces $\{\phi_n\psi_n\}$ es una secuencia creciente tal que $\phi_n\psi_n\to h$ . Por el teorema de convergencia monótona, tenemos $$\begin{align} \int\,fgd(\mu\times v)=\lim_{n\to\infty}\int\,\phi_n\psi_nd(\mu\times v)&=\lim_{n\to\infty}\left(\int\phi_nd\mu\int\psi_ndv\right)\\ &=\left(\lim_{n\to\infty}\int\phi_nd\mu\right)\left(\lim_{n\to\infty}\int\psi_ndv\right)\\ &=\int\,fd\mu\int\,gdv. \end{align}$$$\quad$ Desde $|fg|=|f||g|$ y $f\in L^{-1}(\mu)$ y $g\in L^{-1}(v)$ entonces $fg=h\in L^{-1}(\mu\times v)$ . Además, como $f$ y $g$ tienen un valor real, $$\begin{align} \int\,fgd(\mu\times v)&=\int(fg)^+d(\mu\times v)-\int(fg)^-d(\mu\times v)\\ &=\int f^+g^+d(\mu\times v)+\int f^{-}g^-d(\mu\times v)-\int f^+g^-d(\mu\times v)-\int f^-g^+d(\mu\times v)\\ &=\left(\int f^+d\mu-\int f^-d\mu\right)f g^+ dv-\left(\int ^+d\mu-\int f^-d\mu\right)\int g^-dv\\ &=\int fd\mu\int gdv. \qquad\blacksquare \end{align}$$

Answer 3

@Sarah, aquí está mi prueba..... que creo que es un poco bonita porque no uso secuencias.

Dejemos que $F(x,y):= f(x) \forall y \in Y$ , $G(x,y):=g(y) \forall x\in X$ . Entonces $$F^{-1}([-\infty, a))=\{(x,y) \in X\times Y : F(x,y)\in [-\infty,a)\}$$ $$=\{(x,y) \in X\times Y : f(x)\in [-\infty,a), \forall y\in Y\}$$ $$=\{x \in X : f(x)\in [-\infty,a) \}\times Y\in \mathcal{M}\times\mathcal{N}$$ como $Y\in \mathcal{N}$ y $\{x \in X : f(x)\in [-\infty,a) \}\in \mathcal{M}$ como $f$ es $\mathcal{M}$ -medible; de forma similar, podemos hacer esto para $g$ .

Por el teorema de Tonelli tenemos $|F(x,y)G(x,y)|=|f(x)g(y)|=|h|:X\times Y \to [0,\infty]$ que $|h|$ es integrable porque es medible (el producto de funciones medibles es medible y el valor absoluto de una función medible es medible) y no negativo. Por otro lado, $|h|$ es integralbe si y sólo si $h$ es integrable (por tanto $h$ es integrable).

ahora por el teorema de Fubini, porque $h$ es integrable y $f$ y $g$ son medibles tenemos

$$\int_{X\times Y} h d(\mu \times \nu) = \int_X (\int_Y f(x) g(y) d\nu (y) ) d\mu (x) = (\int_X f d\mu )(\int_Y g d\nu )$$